ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ
ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

(отгреч. orthogonios - прямоугольный) - конечная или счётная система ф-ций 15024-64.jpg, принадлежащих (сепара-бельному) гильбертову пространству L2(a,b )(квадратично интегрируемых ф-ций) и удовлетворяющих условиям

15024-65.jpg

Ф-ция g(x )наз. весом О. с. ф.,* означает комплексное сопряжение. Если все 15024-66.jpg= 1, то О. с. ф. наз. ортонормированной. О. с. ф. наз. полной, если длялюбой ф-ции f(x)15024-67.jpgL2(a,b )существует ряд Фурье 15024-68.jpgсходящийся к f(х); такой ряд будет единственным, а его коэф. определяютсяф-лами Фурье 15024-69.jpg
Всякая линейно независимая (полная) системаф-ций приводится с помощью процедуры ортогонализации (см. Ортонормированнаясистема векторов )к (полной) нормированной О. с. ф.
Для всякого ряда Фурье, построенного поО. с. ф.15024-70.jpg, выполняется неравенство Бесселя

15024-71.jpg

а для полной О. с. ф. справедливо равенствоПарсеваля

15024-72.jpg

Примеры полных О. с. ф.:

1) тригонометрическая система ф-ций наотрезке [ - 1, 1], g(x) =1:

15024-73.jpg

2) системы ортогональных полиномов;

3)система Хаара 15024-75.jpg15024-74.jpg

15024-76.jpg

а т= 2 п+ k,115024-77.jpgk15024-78.jpg2n, т=2, 3, ... .
О. с. ф. используют в разл. физ. задачах. <Спектральный анализ в теории колебаний, акустике, радиофизике и оптикеоснован на разложении ф-ций в ряды по тригонометрич. системе. В любых задачахна собств. значения операторов также появляются О. с. ф., т. к. для эрмитоваоператора 15024-79.jpgсобств. ф-ции, отвечающие разл. собств. значениям, ортогональны между собой. <В квантовой механике, где квадрат модуля волновой ф-ции 15024-80.jpgиграет роль плотности распределения вероятности, свойство ортонормируемостиотражает тот факт, что полная вероятность найти частицу в данном состоянииравна 1, если известно, что система находится в состоянии с определённымквантовым числом.

Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. <В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981;Шилов Г. Е., Математический анализ. Функции одного переменного, ч. 3, М.,1970; Рихтмайер Р., Принципы современной математической физики, пер. сангл., т. 1, М., 1982.

Л. О. Чехов.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ" в других словарях:

  • ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ — система функций ??n(х)?, n=1, 2,..., заданных на отрезке ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ линейное преобразование евклидова векторного пространства, сохраняющее неизменными длины или (что эквивалентно этому) скалярные произведения векторов …   Большой Энциклопедический словарь

  • ортогональная система функций — система функций {φn(х)}, n = 1, 2, ..., заданных на отрезке [а, b] и удовлетворяющих следующему условию ортогональности: при k≠l, где ρ(х)  некоторая функция, называемая весом. Например, тригонометрическая система 1, sin х, cos х, sin 2х,… …   Энциклопедический словарь

  • Ортогональная система функций —         система функций {(φn (x)}, n = 1, 2,..., ортогональных с весом ρ (х) на отрезке [а, b], т. е. таких, что                   Примеры. Тригонометрическая система 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., О. с. ф. с весом 1 на отрезке [ π, π]. Бесселя …   Большая советская энциклопедия

  • ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ — система ф ций {(фn(х)}, п=1, 2, ..., заданных на отрезке [а, b] и удовлетворяющих след, условию ортогональности при k не равно l, где р(х) нек рая ф ция, наз. весом. Напр., тригонометрич. система 1, sin х, cosх, sin 2х, cos 2x,... О.с.ф. с весом… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Полная система функций —         такая система функций Ф = {φ(x:)}, определённых на отрезке [a, b], что не существует функции f (x), для которой, х) из Ф, т. е. для которой                  при любой функции φ(х) из Ф (интегралы понимаются в смысле Лебега, см. Интеграл) …   Большая советская энциклопедия

  • ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА — 1) О …   Математическая энциклопедия

  • ПОЛНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИИ — см. в ст. Ортогональная система функций. Физическая энциклопедия. В 5 ти томах. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988 …   Физическая энциклопедия

  • система — 4.48 система (system): Комбинация взаимодействующих элементов, организованных для достижения одной или нескольких поставленных целей. Примечание 1 Система может рассматриваться как продукт или предоставляемые им услуги. Примечание 2 На практике… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • ОРТОНОРМИРОВАННАЯ СИСТЕМА — 1) О. с. векторов множество ненулевых векторов евклидова (гильбертова) пространства со скалярным произведением (. , .) такое, что при (ортогональность) и (нормируемость). М. И. Войцеховский. 2) О. с. ф у н к ц и и система функций пространства… …   Математическая энциклопедия

  • ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ — построение для заданной системы функций {fn (х)}, интегрируемых с квадратом на отрезке [ а, Ъ]функций ортогональной системы {jn(x)} путем применения нек рого процесса ортогонализации или же путем продолжения функций fn(x).на более длинный… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»