- ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ
- ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ
-
(отгреч. orthogonios - прямоугольный) - конечная или счётная система ф-ций
, принадлежащих (сепара-бельному) гильбертову пространству L2(a,b )(квадратично интегрируемых ф-ций) и удовлетворяющих условиям
Ф-ция g(x )наз. весом О. с. ф.,* означает комплексное сопряжение. Если все
= 1, то О. с. ф. наз. ортонормированной. О. с. ф. наз. полной, если длялюбой ф-ции f(x)
L2(a,b )существует ряд Фурье
сходящийся к f(х); такой ряд будет единственным, а его коэф. определяютсяф-лами Фурье
Всякая линейно независимая (полная) системаф-ций приводится с помощью процедуры ортогонализации (см. Ортонормированнаясистема векторов )к (полной) нормированной О. с. ф.
Для всякого ряда Фурье, построенного поО. с. ф., выполняется неравенство Бесселя
а для полной О. с. ф. справедливо равенствоПарсеваля
Примеры полных О. с. ф.:
1) тригонометрическая система ф-ций наотрезке [ - 1, 1], g(x) =1:
2) системы ортогональных полиномов;
3)система Хаара
а т= 2 п+ k,1
k
2n, т=2, 3, ... .
О. с. ф. используют в разл. физ. задачах. <Спектральный анализ в теории колебаний, акустике, радиофизике и оптикеоснован на разложении ф-ций в ряды по тригонометрич. системе. В любых задачахна собств. значения операторов также появляются О. с. ф., т. к. для эрмитоваоператорасобств. ф-ции, отвечающие разл. собств. значениям, ортогональны между собой. <В квантовой механике, где квадрат модуля волновой ф-ции
играет роль плотности распределения вероятности, свойство ортонормируемостиотражает тот факт, что полная вероятность найти частицу в данном состоянииравна 1, если известно, что система находится в состоянии с определённымквантовым числом.
Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. <В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981;Шилов Г. Е., Математический анализ. Функции одного переменного, ч. 3, М.,1970; Рихтмайер Р., Принципы современной математической физики, пер. сангл., т. 1, М., 1982.
Л. О. Чехов.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.
.