- ЛОРЕНЦА ГРУППА
- ЛОРЕНЦА ГРУППА
-
- группа вещественных линейных однородных преобразований 4-векторов х=
={ х0, х1, х2, х3}пространства Минковского М4, сохраняющих (индефинитное) скалярное произведение
где g=
- метрич. тензор в M4 (подразумевается суммирование по повторяющимся индексам). Названа по имени X. А. Лоренца (Н. A. Lorentz). Являясь подгруппой Пуанкаре группы (группы симметрии пространства-времени в отсутствие гравитации), Л. г. играет фундам. роль в релятивистской теории. Инвариантность действия относительно преобразований Л. г. отражает изотропность пространства-времени и влечёт за собой сохранение 4-тензора момента (см. Нетер теорема).
Преобразование
из Л. г. задаётся веществ. четырёхрядной матрицей
так что
Равенство
эквивалентно
транспонирована к
и даёт det
Л. г. L разбивается на 4 компоненты, связанные между собой в соответствии со знаками det
и
Здесь ниж. индекс - знак det
стрелка
отвечает знаку +
- инверсия (отражение) пространства: ( Рх)0=х0,
Т- инверсия времени:
j = 1, 2, 3. Преобразования с det
=1 наз. собственными, с
-ортохронными. Собственная ортохронная группа
является подгруппой Л. г.
Л. г.- шестипараметрич. группа Ли; в
имеются 3 независимых пространственных вращения
на угол а в плоскости
и 3 независимых (частных) Лоренца преобразования - гиперболич. повороты (бусты) В оk
на угол
в плоскости ( х0, xk):
(здесь i, j, k=1, 2, 3 и их циклич. перестановки). Любой элемент
из
можно однозначно представить в виде
-RB, где R - пространств. вращение вокруг нек-рой оси, а В - гиперболич. поворот в плоскости (x0, n), где п- нек-рое направление.
В приложениях важно соответствие между
и группой SL(2, С )комплексных матриц 2X2 с единичным определителем. Каждому
из М4 ставится в соответствие эрмитова матрица
где
- единичная матрица 2X2,
- Паули матрицы;при этом
и
Тогда каждому преобразованию
=
, где
С), отвечает преобразование
причём
=
Это соответствие двузначно:
вращениям R отвечают унитарные матрицы
бустам В - положительно (либо отрицательно) определённые эрмитовы матрицы Н=
. а разложению
=RB - разложение S = VH. Группа SL(2, С) является универсальной накрывающей Л. г., являясь мин. односвязной группой, гомоморфной Л. г. (см. Группа).
Параметризации Л. г. с помощью углов поворотов отвечает матричное представление её генераторов Mij
(штрих означает здесь производную по углу). Их Ли алгебра характеризуется перестановочными соотношениями:
В трёхмерных обозначениях удобно перейти к комбинациям
где
- символ Леви-Чивиты. Тогда алгебра (1) расщепляется в прямую сумму двух алгебр Ли вращений группы0(3):
Операторы Казимира, коммутирующие со всеми генераторами, имеют вид C1=NiNi, C2=.
Неприводимые представления Л. г. (точнее, её подгруппы
полностью характеризуются собств. значениями j1, j2 операторов С 1, С2. Для конечномерных представлений удобнее трёхмерная реализация (2) алгебры Ли. Вследствие её расщепления представление
Л. г. строится как прямое произведение представлений D(j) группы вращений п имеет размерность
. Величины, преобразующиеся по представлениям D(1/2,0) и
, являются спинором и сопряжённым спинором, по
)- 4-вектором и т. д. Полная классификация неприводимых представлений Л. г. описывается в терминах параметров j0, v, связанных с собств. значениями операторов Казимира ф-лами
,
; параметр j0 - положит. целое или полуцелое число, v - любое комплексное число. Представление конечномерно, когда j0 - целое или полуцелое и
, где п- целое. Представление унитарно, когда: 1) v -мнимое; 2) j0=0, v -вещественно и
. Представление Л. г. однозначно при целом и двузначно при полуцелом j0.
Лит.: Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро 3. Я., Представления группы вращений и группы Лоренца, их применения, М., 1958; Наймарк М. А., Линейные представления группы Лоренца, М., 1958; Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т., Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля, М., 1969; Румер Ю. Б., Фет А. И., Теория групп и квантованные поля, М., 1977; Эллиот Д ж., Добер П., Симметрия в физике, пер. с англ., т. 1-2, М., 1983; Рамон П., Теория поля. Современный вводный курс, пер. с англ., М., 1984. С. И. Азаков, В. П. Павлов.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.
.