- ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
функция Куммера, функция Похгаммера,- решение вырожденного гипергеометрического уравнения
В. г. ф. может быть определена с помощью так наз. ряда Куммера:
где
и
- параметры, принимающие любые действительные или комплексные значения, кроме
- комплексное переменное. Функция
наз. вырожденной гипергеометрической функцией 1-го рода. Второе линейно независимое решение уравнения (1)
наз. вырожденной гипергеометрической функцией 2-го рода.
В. г. ф.
- целая аналитич. функция во всей комплексной плоскости z; при фиксированном z - целая функция
и мероморфная функция g с простыми полюсами в точках
В. г. ф.
- аналитич. функция в комплексной плоскости z с разрезом
и целая функция
и
.
В. г. ф.
связана с гипергеометрической функцией
соотношением
Элементарные соотношения. Четыре функции
и
наз. смежными с функцией
. Между
и любыми двумя смежными с ней существует линейная зависимость. Напр.,
Шесть формул такого типа могут быть получены из соотношений между смежными функциями для гипергео-метрич. функций. Последовательное применение этих рекуррентных формул приводит к линейным соотношениям, связывающим функцию
с ассоциированными функциями
где тип - целые числа.
Формула дифференцирования:
Основные интегральные представления:
Асимптотич. поведение В. г. ф. при
может быть изучено с помощью интегральных представлений (см. [1] - [3]). Если
, в то время как
и
ограничены, то поведение функции
описывается формулой (2). В частности, при больших
и ограниченных
и
:
Представления функций через В. г. ф. Функции Бесселя:
Многочлены Лагерра:
Интеграл вероятностей:
Интегральная показательная функция:
Интегральная логарифмическая функция:
Гамма-функции:
Элементарные функции:
См. также [1], [2], [3], [8].
Лит,:[1] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, [т. 2], пер. с англ.,2 изд., М., 1973; [2] Градштейн И. <С.,Рыжик И. М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, 4 изд., М., 1963; [З] Handbook of mathematical functions with formulas, graphs and mathematical tables, N. Y., 1964; [4] Уиттекер Э.-Т., Ватсон Д.-Н., Курс современного анализа, ч. 2-Трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., М., 1963; [5] Лебедев А. В., Федорова Р. М., Справочник по математическим таблицам, М., 1956; [6] Бурунова Н. М., Справочник по математическим таблицам, М., 1959; [71 An index of Mathematical tables, 2 ed , v. 1, 2, Oxford, 1962; [8] Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, 2 изд., М.-Л., 1963. 9. А. Чистова.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.