ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ


ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

функция Куммера, функция Похгаммера,- решение вырожденного гипергеометрического уравнения


В. г. ф. может быть определена с помощью так наз. ряда Куммера:


где и - параметры, принимающие любые действительные или комплексные значения, кроме - комплексное переменное. Функция наз. вырожденной гипергеометрической функцией 1-го рода. Второе линейно независимое решение уравнения (1)


наз. вырожденной гипергеометрической функцией 2-го рода.

В. г. ф. - целая аналитич. функция во всей комплексной плоскости z; при фиксированном z - целая функция и мероморфная функция g с простыми полюсами в точках

В. г. ф. - аналитич. функция в комплексной плоскости z с разрезом и целая функция и .

В. г. ф. связана с гипергеометрической функцией соотношением


Элементарные соотношения. Четыре функции и наз. смежными с функцией . Между и любыми двумя смежными с ней существует линейная зависимость. Напр.,


Шесть формул такого типа могут быть получены из соотношений между смежными функциями для гипергео-метрич. функций. Последовательное применение этих рекуррентных формул приводит к линейным соотношениям, связывающим функцию с ассоциированными функциями где тип - целые числа.

Формула дифференцирования:


Основные интегральные представления:


Асимптотич. поведение В. г. ф. при может быть изучено с помощью интегральных представлений (см. [1] - [3]). Если , в то время как и ограничены, то поведение функции описывается формулой (2). В частности, при больших и ограниченных и :


Представления функций через В. г. ф. Функции Бесселя:


Многочлены Лагерра:


Интеграл вероятностей:


Интегральная показательная функция:


Интегральная логарифмическая функция:


Гамма-функции:


Элементарные функции:


См. также [1], [2], [3], [8].

Лит,:[1] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, [т. 2], пер. с англ.,2 изд., М., 1973; [2] Градштейн И. <С.,Рыжик И. М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, 4 изд., М., 1963; [З] Handbook of mathematical functions with formulas, graphs and mathematical tables, N. Y., 1964; [4] Уиттекер Э.-Т., Ватсон Д.-Н., Курс современного анализа, ч. 2-Трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., М., 1963; [5] Лебедев А. В., Федорова Р. М., Справочник по математическим таблицам, М., 1956; [6] Бурунова Н. М., Справочник по математическим таблицам, М., 1959; [71 An index of Mathematical tables, 2 ed , v. 1, 2, Oxford, 1962; [8] Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, 2 изд., М.-Л., 1963. 9. А. Чистова.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ" в других словарях:

  • КОНФЛЮЭНТНАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — то же, что вырожденная гипергеометрическая функция …   Математическая энциклопедия

  • Функция ошибок — График функции ошибок В математике функция ошибок (функция Лапласа)  это неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных ур …   Википедия

  • Функция Лапласа — График функции ошибок В математике функция ошибок  это неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как . Дополнительная функция ошибок,… …   Википедия

  • Функция Эрмита — Функции параболического цилиндра общее название для специальных функций, являющихся решениями дифференциальных уравнений, получающихся при применении метода разделения переменных для уравнений математической физики, таких как уравнение Лапласа,… …   Википедия

  • ТРАНСЦЕНДЕНТНАЯ ФУНКЦИЯ — в узком смысле слова мероморфная функция в плоскости комплексного переменного z, отличная от рациональной функции. В частности, сюда относятся целые Т. ф., т. е. целые функции, отличные от многочленов, напр. показательная функция ez,… …   Математическая энциклопедия

  • БЕЙТМЕНА ФУНКЦИЯ — k функция, функция где хи v действительные числа; определена Г. Бейтменом [1]. Б. ф. может быть выражена с помощью вырожденной гипергеометрич. функции 2 го рода : Соотношение (2) удобно принять в качестве определения Б. ф. в комплексной плоскости …   Математическая энциклопедия

  • СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ — в широком смысле совокупность отдельных классов функций, возникающих при решении как теоретических, так и прикладных задач в самых различных разделах математики. В узком смысле под С. ф. подразумеваются С. ф. математич. физики, к рые появляются… …   Математическая энциклопедия

  • Интеграл вероятности — График функции ошибок В математике функция ошибок  это неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как . Дополнительная функция ошибок,… …   Википедия

  • КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ — квантовой механики (Венцеля Крамерса Бриллюэна метод), приближённый метод решения задач квант. механики, применимый, когда и квант. и классич. описание движения ч цы дают близкие результаты; впервые использован нем. физиком Г. Венцелем, англ.… …   Физическая энциклопедия

  • Функции параболического цилиндра — (функции Вебера) общее название для специальных функций, являющихся решениями дифференциальных уравнений, получающихся при применении метода разделения переменных для уравнений математической физики, таких как уравнение Лапласа, уравнение… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.