КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ


КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

       
квантовой механики (Венцеля — Крамерса — Бриллюэна метод), приближённый метод решения задач квант. механики, применимый, когда и квант. и классич. описание движения ч-цы дают близкие результаты; впервые использован нем. физиком Г. Венцелем, англ. физиком Г. Крамерсом и франц. физиком Л. Бриллюэном в 1926. С точки зрения общей теории волн. полей К. п. соответствует такому описанию, при к-ром основным явл. рассмотрение лучей («геом. приближение»), а «волновые» эффекты выступают как малые поправки. Такое описание приемлемо, если длина волны (в квант. механике — длина волны де Бройля) достаточно мала — много меньше всех масштабов неоднородностей действующих на ч-цу внеш. полей. Кроме того, необходимо, чтобы длина волны медленно менялась от точки к точке. Т. к. длина волны де Бройля l равна отношению постоянной Планка h к импульсу р, к-рый связан с полной ? и потенциальной U(х) энергиями соотношением
?=р2/2m+U(х)
(где х — координата),
К. п. применимо лишь в случаях, когда U(х) меняется достаточно медленно с изменением х.
Формально К. п. сводится к вычислению действия S в виде разложения в ряд: S=S0+S1+S2+.., первый член к-рого не зависит от h (классич. действие S0), второй пропорц. h, третий пропорц. h2 и т. д. Найдя S, можно получить и волн. ф-цию y, равную: y=ехр(2piS/h). Обычно ограничиваются членом S1. Получаемая при этом y наз. квазиклассич. волн. ф-цией, yкп.
Важный частный случай — движение ч-цы в конечной области пр-ва. При таком финитном движении внутри нек-рой потенциальной ямы К. п. не может быть применимым везде; это ясно хотя бы из того, что, доходя до «стенки» ямы, ч-ца (на языке классич. физики) на мгновение останавливается, т. е. р обращается в нуль, а следовательно, l®?. Для окрестностей вблизи таких точек поворота нужно искать y на основе точного квантовомеханич. Шредингера уравнения, а затем потребовать, чтобы между yкп и y был непрерывный переход при приближении к точкам поворота. Оказывается, что из требований этой непрерывности и однозначности y без дополнит. предположений вытекают условия квантования Бора.
Применимость К. п. оправдана лишь при больших значениях квантовых чисел.

Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. . 1983.

КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

квантовой механики (Венцеля - Крамерса - Бриллюэна метод, ВКБ метод) - приближённый метод нахождения волновой ф-ции и уровней энергии квантовой системы при условии, что длина волны де Бройля lчастиц системы много меньше характерных размеров R изменения потенциала. В условиях К. п. квантовое неопределённостей соотношение позволяет построить волновой пакет, в к-ром неопределённости координаты и импульса гораздо меньше самих этих величин. Такой пакет будет двигаться, подчиняясь законам классич. механики с точностью до малых величин порядка l/R.В простейшем случае точечной частицы массы m с заданной энергией E, движущейся по законам классич. механики во внеш. поле с потенциалом U(r), модуль импульса р(r)в данной точке пространства rравен p(r)-[2m(S-U(r))]l/2.Длина волны связана с импульсом соотношением де Бройля l(r)=h/p(r).Критерий применимости К. п. таков:
013-57.jpg
Движение квантовой частицы в тех же условиях определяется Шрёдингера уравнением:
013-58.jpg
где y - волновая ф-ция частицы. В одномерном случае (потенциал и волновая ф-ция зависят лишь от одной координаты х )приближённые решения ур-ния (2) в классически доступной области E>U(x )имеют вид
013-59.jpg
где С - постоянная. Решения (3) представляют собой простейшее обобщение плоской волны 013-60.jpg наслучай медленно меняющегося р( х).Предэкспоненц. множитель обеспечивает закон сохранения числа частиц, т. е. независимость потока числа частиц
013-61.jpg
от координаты (звёздочка означает комплексное сопряжение).Решения (3) с той же точностью справедливы и в классически недоступной области E<U(x),Однако в этом случае величина р( х )становится чисто мнимой. Поэтому одно из решений экспоненциально убывает, а другое растёт по мере удаления в классически недоступную область. Эти решения описывают чисто квантовый эффект подбарьерного проникновения частиц. Критерий (1) не выполняется вблизи классич. точек поворота х 0,где U( х0)=E.Если U( х )регулярен в точке х0, то вблизи неё ур-ние Шрёдингера можно приближённо заменить ур-нием с линейным потенциалом U(x)=U'( х0)( х-х0), к-рое сводится к ур-нию Эйри (см. Эйри функция).Его решения:
013-62.jpg
где Z1/3(x) - любое решение ур-ния Бесселя с индексом 1/3 (см. Цилиндрические функции
013-63.jpg
Замена точного ур-ния Шрёдингера приближённым вблизи нулей и особенностей ф-ции р2( х )носит назв. метода эталонных ур-ний. Так, вблизи простого нуля ф-ции р2( х )эталонным является ур-ние Эйри; если близкими оказываются два простых нуля, то эталонным является ур-ние параболич. цилиндра (см. Параболического цилиндра функции);при сближении простого нуля и полюса эталонным оказывается вырожденное гипергеом. ур-ние (см. Вырожденная гипергеометрическая функция). Во всех этих случаях известны аналитич. свойства решений эталонных ур-ний. Возможны и более сложные эталонные ур-ния, решения к-рых пока не исследованы. <Решения эталонного ур-ния (4) плавно сшиваются с квазиклассич. решениями (3), определяя тем самым правила перехода через точки поворота. В частности, то из решений (3), к-рое экспоненциально убывает в классически недоступной области, в разрешённой области ведёт себя как
013-64.jpg
где х0- классич. точка поворота. Если классически доступная область ограничена обычными точками поворота x1 х2,то уровни энергии определяются правилами квантования Бора - Зоммерфельда:
013-65.jpg
Здесь n - квантовое число, нумерующее уровни. При переходе к классич. механике величина nиграет роль адиабатического инварианта. Если одна или обе границы классич. движения близки к особенностям потенциала, то в правой части ур-ния (6) вместо слагаемого 1/2 появляется не зависящая от п постоянная g, значение к-рой определяется характером особенности. <В 1913 Н. Бор (N. Bohr) постулировал правила квантования (6) и с их помощью впервые интерпретировал эксперим. спектры поглощения атомов водорода. В силу спец. симметрии квазиклассич. уровни энергии атома водорода совпадают с точными. <Пусть потенциал U( х )таков, что в нём имеется две области классически разрешённого движения, одна из к-рых ограничена (рис.).
013-66.jpg
Классич. частица, находящаяся в потенц. яме, не сможет покинуть её. Но квантовая частица имеет отличную от нуля волновую ф-цию и в подбарьерной области. Выход частицы из потенц. ямы сквозь барьер является квантовым эффектом, наз. туннелированием (туннельным проникновением; см. Туннельный эффект).Вероятность туннелирования за единицу времени определяется ур-нием
013-67.jpg
где v(E)- классич. частота движения частиц в потенц. яме. Множитель v(E) возникает из условия нормировки волновой ф-ции в классически доступной области. Представление о квантовом туннелировании и его количеств, выражение (7) были впервые применены Г. А. Гамовым (G. Gamov) для объяснения альфа-распада. Другим сугубо квантовым эффектом является oтpaжение потенц. барьером частицы с энергией, большей высоты барьера. Если потенциал является аналитич. ф-цией х, то в К. п. коэф. надбарьерного отражения (доля отраженных частиц) равен
013-68.jpg
Интегрирование в показателе экспоненты происходит вдоль контура в комплексной плоскости х, идущего из ближайшей к веществ, оси комплексной точки поворота 013-69.jpg в ниж. полуплоскости к комплексно сопряжённой точке поворота х0.Ф-лы (7) и (8) применимы в том случае, когда показатели экспонент велики. <Надбарьерное отражение является частным случаем процесса, запрещённого классич. механикой. В квантовой механике такие процессы, вообще говоря, возможны, но имеют экспоненциально малую вероятность. Классич. траектория такого процесса, т. е. решение вариационного ур-ния dS=0, существует, но оказывается комплексной. Комплексно и действие S вдоль траектории. Вероятность классически запрещённого перехода определяется ф-лой
013-70.jpg
где действие взято вдоль классич. пути с мин. мнимой частью ImS. Вычисление предэкспоненц. множителя требует конкретизации задачи. <Задача о переходах в квантовой системе часто решается методом адиабатического приближения, сходным с квазиклассическим. Необходимым условием применимости адиабатич. приближения является возможность разделения движений на быстрые и медленные. Так, в случае атомных соударений движение ионов можно считать медленным, а движение электронов быстрым. Если система помещена в переменное внеш. поле, его частоты должны быть малы по сравнению с характерными частотами системы. В адиабатич. приближении уровни энергии Ei квантовой системы можно считать параметрически зависящими от времени t.Условие адиабатичности нарушается при пересечении любых двух уровней E1 и E2 (см. Пересечение уровней).В небольшом интервале времени около момента пересечения двух термов происходят переходы между ними. Вблизи точки пересечения справедлива эталонная система двух ур-ний для амплитуд состояний, являющаясяаналогом ур-ния Эйри. Вероятность перехода определяется ф-лой
013-71.jpg
где действие 013-72.jpg, a t0 - момент пересечения термов, <находящийся, вообще говоря, в комплексной плоскости. При двукратном прохождении точки пересечения вероятность перехода равна w2=2w1(1- w1). Возмущение V, приводящее к переходу между термами невозмущённой системы, приводит к отталкиванию уровнен и невозможности их пересечения при веществ, временах. Если возмущение V мало по сравнению с характерной разностью энергий вдали от точки пересечения, то момент t0 недалёк от веществ. оси. В этом случае
013-73.jpg
где E'1,E'2 - производные от невозмущённых уровней энергии в точке пересечения. В случае, когда медленным является относит, движение двух ионов в молекуле, E'i=vFi, где v - скорость движения ядер вблизи точки пересечения термов, Fi - сила, действующая на ядра, когда электроны находятся в состоянии с номером i. Подставляя (9) и (10) в выражение для w2, получаем ф-лу Ландау - Зинера:
013-74.jpg
Если один из уровней принадлежит непрерывному спектру, то ф-ла (11) описывает явление предиссоциации молекулы. <К. п. с известными оговорками обобщается на случай движения в многомерном пространстве. Волновую ф-цию в этом случае можно записать в виде
013-75.jpg
Здесь S(r) - классич. действие, подчиняющееся Гамильтона - Якоби уравнению:(СS)2 = p2(r);величина А-1(r) - относит, площадь сечения бесконечно тонкого пучка классич. траекторий, проведённого нормально к импульсу 013-76.jpg; суммирование в (12) проводится по всем классич. траекториям, проходящим через заданную точку r.Решение (12) обеспечивает закон сохранения числа частиц. Ф-ция А(r)удовлетворяет ур-нию 013-77.jpg, эквивалентному ур-нию непрерывности для пучка частиц. Аналогичное построение в оптике наз. методом эйконала или геометрической оптики методом. Площадь сечения пучка траекторий пропорц. произведению гл. радиусов кривизны поверхности волнового фронта S=const. Поверхности, на к-рых А-1(r)обращается в нуль, наз. каустиками. Они являются огибающими классич. траекторий, отделяющими классически доступные области от недоступных, подобно точкам поворота в одномерной задаче. В классически недоступной области волновая ф-ция по-прежнему имеет вид (12), но S(r)становится чисто мнимым, так что волновая функция экспоненциально убывает. <Вблизи каустик, но вдали от их особых точек волновая ф-ция сравнительно быстро меняется по нормали и медленно в касательной к каустике плоскости. Приближённое решение вблизи каустик, как и в одномерном случае, подчиняется эталонным уравнениям, простейшим и наиболее типичным из к-рых является уравнение Эйри. Решение эталонных уравнений позволяет "сшить" квазиклассич. волновые ф-ции по обе стороны каустики. <Построение квазиклассич. волновых ф-ций, данное выше, обобщается на случай системы мн. частиц, а такжена случай произвольной зависимости энергии от импульса, что важно в теории твёрдого тела. <К. п. в многомерном случае, данное ур-нием (12), осмысленно только при конечном и не слишком большом числе траекторий, проходящих через данную точку. Для этого необходимо, чтобы классич. движение было устойчивым хотя бы в нек-рых областях. Др. словами, нек-рая часть фазового пространства должна расслаиваться на инвариантные торы (см. Гамильтонова система), по к-рым движется классич. система. Тогда правила квантования Бора - Зоммерфельда принимают вид
013-78.jpg
где р - обобщённый импульс, q - обобщённая координата, интегрирование в (13) ведётся по одной из независимых замкнутых кривых на торе, вообще говоря, не совпадающей с классич. траекторией, gi - число, зависящее от того, сколько раз кривая Сi касается каустики. Если известна, хотя бы приближённо, к.-н. замкнутая устойчивая классич. траектория, то в её окрестности правила квантования (13) позволяют найти большое число уровней. Соответствующие волновые ф-ции локализованы в узком канале вокруг классич. траектории, площадь канала s@ЦRl,где R - характерный линейный размер траектории. <Наиб. просто квазиклассич. правила квантования применяются для высоковозбуждённых состояний систем с почти разделяющимися переменными. Если невозмущённая система невырождена, т. е. частоты wi=013-79.jpg несоизмеримы (S0(n) - энергия невозмущённой системы, ni - квантовые числа), то энергия изменяется на величину <V> возмущения V, усреднённого по всем фазовым переменным, а волновая ф-ция сосредоточена в окрестности 013-80.jpg около фиксированных значений n0i.Если нек-рые из частот соизмеримы, напр., две частоты w1 и w2 равны друг другу, то разность соответствующих угл. переменных j1-j2 медленно меняется, а квантовое число k=n1-n2 изменяется в широком интервале. Усреднённое по быстрым фазам возмущение V является гамильтонианом для медленных переменных. <Правила перехода от квантовых к классич. величинам таковы. Классич. частоты определяют расстояния между соседними уровнями. Матричные элементы физ. величин переходят в фурье-компоненты соответствующих классич. величин. Наконец, перестановочным соотношениям операторов в квантовой механике соответствуют классические Пуассона скобки, помноженные на 013-81.jpgОбщепринято представление о том, что в случае, когда классич. движение хаотично, квантовая система демонстрирует нерегулярное поведение высоковозбуждённых уровней. Их ср. плотность r(E) определяется, как и в случае свободных частиц, производной по энергии от объёма классически доступной области в фазовом пространстве. Напр., для частицы, движущейся в потенц. поле U(r)в трёхмерном пространстве
013-82.jpg
Но расстояния между уровнями флуктуируют. Задача о распределении расстояний между уровнями не решена, намечены только нек-рые подходы к ней. Мало известно о статистич. характеристиках волновых ф-ций. Численные методы и теоретич. соображения показывают, что квадрат модуля волновой ф-ции максимален вблизи периодич. классич. траекторий, даже если они неустойчивы. Энергия системы на такой траектории соответствует максимуму плотности состояний. <Для вычисления вероятности туннелирования в многомерном случае необходимо найти траекторию, проходящуюв классически недоступной области, вдоль к-рой минимален модуль мнимого действия. Вероятность туннелирования в основном определяется экспоненциально малым фактором ехр(013-83.jpg ), где S - мнимое действие вдоль туннельной траектории. Предэкспоненц. множитель находится с помощью правил сшивки на каустике по известной волновой ф-ции внутри потенц. ямы. <К. п. легко обобщается на нестационарный случай, если в ф-ле (12) подразумевать под S зависящее от времени действие, подчиняющееся нестационарному ур-нию Гамильтона - Якоби. <К. п. можно получить из представления Фейнмана волновой ф-ции в виде интеграла по всем путям (см. Функционального интеграла метод),если считать 013-84.jpg малой величиной. Тогда осн. вклад в интеграл вносит малая окрестность путей, вдоль к-рых действие минимально, т. е. классич. траекторий. К. п. можно использовать в чисто матем. целях для вычисления асимптотич. вида решений обыкновенных линейных дифференц. ур-ний второго порядка: y "+q2(x)y=0 [ср. с ур-нием (2)]. К такому виду приводятся ур-ния для гипергеометрических функций и нек-рых важных частных случаев этих ф-ций (ф-ций Бесселя, Лежандра, Лагерра и др.). Асимптотич. решения этих ур-ний имеют общий вид
013-85.jpg
и подчиняются эталонным ур-ниям вблизи разл. особых точек. Если q2( х) - аналитич. ф-ция, то такие решения можно продолжить в комплексную плоскость х.Однако на нек-рых линиях в комплексной плоскости, наз. линиями Стокса, коэф. А и В могут резко меняться. В частности, из каждой точки поворота х0,вк-рой g2(x0)=0,выходят три линии Стокса под углом 120°.Решение у 0,к-рое ведёт себя как ехр (013-86.jpg) на биссектрисе одного из углов (убывающая экспонента), приходит с неизменным коэф. на линии Стокса, ограничивающие этот угол. Но на третьей линии Стокса появляется вторая экспонента с коэф. bi. Матрица, преобразующая коэф. А, В при переходе с одной линии Стокса на другую, наз. матрицей монодромии. Знание этой матрицы позволяет "сшивать" квазиклассич. асимптотики в разных областях без детального исследования эталонных уравнений. В частности, приведённое правило изменения коэффициентов в окрестности точки поворота эквивалентно правилу сшивки (4).
Историчегкая справка. Как метод решения дифференц. ур-ний К. п. впервые применялось Ж. Лиувиллем (J. Liouville) в 1837. Дальнейшее развитие К. п. нашло в трудах Рэлея (J. Rayleigh, 1912) и X. Джефриса (Н. Jeffreys, 1923). В связи с задачами квантовой механики К. п. было вновь изобретено Г. Венцелем (G. Wentzel), X. Крамерсом (Н. A. Kramers) и Л. Бриллюэном (L. N. Brillouin) в 1926, вследствие чего оно часто и наз. методом ВКБ (WKB или JWKB). Крамере, в частности, установил правила сшивки вблизи точки поворота. <Квазиклассич. правила квантования были угаданы Н. Бором (N. Bohr) в 1913, за 13 лет до создания регулярной квантовой механики. Лит.:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика, 3 изд., М., 1974; Мигдал А. Б., Качественные методы в квантовой теории, М., 1975; Маслов В. П., Федорюк М. В., Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики, М., 1976. В. Л. Покровский.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.

Смотреть что такое "КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ" в других словарях:

  • Квазиклассическое приближение — Квазиклассическое приближение, также известное как метод ВКБ (Вентцеля Крамерса Бриллюэна) самый известный пример квазиклассического вычисления в квантовой механике, в котором волновая функция представлена как показательная функция,… …   Википедия

  • КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ — асимптотическое представление, асимптотика решений уравнений квантовой механики при (h постоянная Планка). Уравнение Шрёдингера описывает движение квантовомеханич. частицы в потенциальном поле V(x). Движение классич. частицы описывается… …   Математическая энциклопедия

  • квазиклассическое приближение — kvaziklasikinis artinys statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. quasi classical approximation; semiclassical approximation vok. quasiklassische Näherung, f rus. квазиклассическое приближение, n pranc. approximation quasi classique, f …   Fizikos terminų žodynas

  • квазиклассическое приближение — Метод нахождения волновых функций и уровней энергии путём разложения их по степеням отношения длин де бройлевских волн частиц и характерным размерам системы …   Политехнический терминологический толковый словарь

  • ВКБ-МЕТОД — асимптотический метод Вентцеля Крамерса Бриллюэна (и Джефриса) решения обыкновенных дифференциальных уравнений вида с малым параметром при старшей производной. Для построения приближенных решений волнового уравнения Шрёдингера в квантовой… …   Математическая энциклопедия

  • ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ МЕТОД — приближённый асимптотич. метод вычисления волновых полей, опирающийся на представление о лучах, вдоль к рых распространяется энергия волны. Г. о. м. отвечает широкому, волновому , пониманию геом. оптики, в противоположность геом. оптике в узком,… …   Физическая энциклопедия

  • МАЛОГО ПАРАМЕТРА МЕТОД — в т е о р и и дифференциальных уравнений приемы построения приближенных решений дифференциальных уравнений и систем, зависящих от параметра. 1) М. п. м. для обыкновенных дифференциальных уравнении. Обыкновенные дифференциальные уравнения, к к рым …   Математическая энциклопедия

  • Струтинский, Вилен Митрофанович — Эта страница требует существенной переработки. Возможно, её необходимо викифицировать, дополнить или переписать. Пояснение причин и обсуждение на странице Википедия:К улучшению/26 августа 2012. Дата постановки к улучшению 26 августа 2012. В… …   Википедия

  • ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ — (туннелирование), преодоление микрочастицей потенциального барьера в случае, когда её полная энергия (остающаяся при Т. э. большей частью неизменной) меньше высоты барьера. Т. э. явление существенно квант. природы, невозможное в классич.… …   Физическая энциклопедия

  • Коэффициент прохождения — В нерелятивистской квантовой механике коэффициент прохождения и коэффициент отражения используются для описания вероятности прохождения и отражения волн, падающих на барьер. Коэффициент прохождения представляет собой отношение потока прошедших… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.