ЯКОБИ МНОГООБРАЗИЕ

якобиан, алгебраической кривой S - главно поляризованное абелево многообразие сопоставляемое этой кривой. Иногда Я. м. является просто коммутативной алгебраич. группой. Если S- гладкая проективная кривая рода . над полем С или, в классич. терминологии, компактная риманова поверхность рода g, то интегрирование голоморфных 1-форм но 1-циклам на . задает вложение
образ к-рого является решеткой максимального ранга (здесь - пучок голоморфных 1-форм на S).Я. м. кривой Sесть фактормногообразие
В качестве поляризации на нем берется класс когомологий из

соответствующий форме пересечения на Эта поляризация является главной, т. е. Для более явного задания Я. м. обычно берется нек-рый базис в и базис из форм в Эти данные определяют матрицу размера - матрицу периодов римановои поверхности

Тогда где - решетка с базисом, состоящим из столбцов матрицы Базисы и можно выбрать так, что при этом матрица Z =X+iY симметрична и Y>0 (см. Абе. <лев дифференциал). Класс поляризации представляется формой к-рая в стандартных координатах (z₁, . . ., z_g) на записывается в виде

Вместо класса когомологий часто рассматривают двойственный к нему эффективный дивизор, обозначаемый той же буквой; он определен однозначно с точностью до сдвига. Геометрич. описание дивизора дается отображением Абеля заданным формулой

где -фиксированная точка. Пусть S^(d) есть d- ясимметрич. степень кривой S,т. е. <фактормногообразие многообразия S^d но симметрич. группе (точки многообразия S^(d) соответствуют эффективным дивизорам степени dна S). Формула
определяет продолжение отображения Абеля до отображения Тогда
Отношение эквивалентности в S^(g) определяемое отображением m, совпадает с рациональной эквивалентностью дивизоров (теорема Абеля). Кроме того, (теорема Якоби об обращении). Сам К. Якоби [1] занимался проблемой обращения в случае g=2(см. также Якоби проблема обращения). Указанные теоремы определяют изоморфизм где Pic^g(S) - компонента Пикара группыPic(S). отвечающая дивизорам степени g. Умножение на класс дивизора - gs₀ приводит к канонич. изоморфизму абелевых многообразий
В случае полной гладкой кривой над произвольным полем Я. м. J(S)определяется как Пикара многообразиеPicS. Отображение Абеля сопоставляет точке класс дивизора s-s₀, а поляризация определяется дивизором
Значение Я. м. в теории алгебраич. кривых видно из следующей Торелли теоремы:неособая полная кривая однозначно определяется по своему якобиану (с учетом поляризации), см. [5]. Переход от кривой к ее якобиану позволяет лианеризовать ряд нелинейных задач теории кривых. Напр., вопрос об описании специальных дивизоров на S(т. е. эффективных дивизоров D, для к-рых h⁰(S, О(K-D))>0 )по существу переводится на язык особенностей специальных подмногообразий якобиана J(S). Этот перевод основан на теореме Римана - Кэмпфа об особенностях (см. [1], [5]). Одно из следствий теоремы Римана - Кэмпфа состоит в том, что многообразие особых точек дивизора поляризации имеет коразмерность, не превосходящую 4. ато свойство Я. м. является характеристическим, если рассматривать лишь главно поляризованные абелевы многообразия, принадлежащие окрестности якобиана общей кривой. Точнее, если много образие особых точек дивизора поляризации главнополяризованного абелева многообразия Аимеет коразмерность и Ане принадлежит нескольким выделенным компонентам многообразия модулей, то для нек-рой гладкой кривой S(см. [2]).
Другой подход к выделению якобианов среди абелевых многообразий - задание уравнений на значения q-функций и их производных в специальных точках. Отыскание таких уравнений называют проблемой Шоттки.
В случае особой кривой SЯ. м. J(S)называют подгруппу в Pic(S), определяемую дивизорами, имеющими степень 0 по каждой неприводимой компоненте кривой S(она совпадает со связной компонентой единицы в Pic(S)).Если кривая Sзадана модулем тна гладкой модели N, то J(S)обычно называют обобщенным якобианом кривой N(относительно модуля т) и обозначают через Jm (см. [6]).

Лит.:[1] Jасоbi С. G. J., Gesammelte Werko, Bd 2, В., 1882, S. 5-16, 23-50; [2] Andrеоtti A., Mауеr A., лAnn. Scu. Norm. Super. Pisa