- ЯКОВИ МЕТОД
- - 1) Я. м. метод приведения квадратичной формы к канонич. виду при помощи треугольного преобразования неизвестных, предложенный К. Якоби (С. Jacobi, 1834) (см. [1]).
Пусть дана билинейная форма
(не обязательно симметрическая) над нек-рым полем Р, и пусть матрица A=||aki|| этойформы удовлетворяет следующему условию:
где- минор k-гo порядка, стоящий в ее левом верхнем углу. Тогда форма f может быть записана в таком виде:
гдеа при k=2, . . ., п.,
В частности, если А - симметрич. матрица и f - квадратичная форма с матрицей А, удовлетворяющая условию (1), то форма f приводится к канонич. виду
при помощи следующего преобразования неизвестных:
при k=2, . . ., п, и
Это преобразование имеет треугольную матрицу и записывается в виде
где Cki- минор матрицы A, стоящий в строках с номерами 1, 2, . . ., k-, kи столбцах с номерами 1, 2, ..., k-1, i.
Формулы (2) - (7) наз. иногда формулами Якоби.
В случае, когда матрица квадратичной формы f удовлетворяет лить условию
где r - ранг формы, эта форма может быть приведена к каноническому виду
(здесьтреугольным преобразованием неизвестных. Приведение можно осуществить при помощи метода Гаусса (см. [1], с. 272-275). В частности, если поле
то положительный индекс инерции квадратичной формы f равен числу сохранений знака, а отрицательный индекс инерции - числу перемен знака в ряду чисел
См. также Инерции закон.Лит.:[1]Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, 2 изд., М., 1966.
И. В. Проскуряков.2) Я. м.- простой итерации метод для решения системы линейных алгебраич. уравнений Ax=b, в к-ром предварительное преобразование системы к виду x=Bx+g осуществляется по правилу
3) Я. м.- вращений метод для решения полной проблемы собственных значений и собственных векторов эрмитовой матрицы.
Г. Д Ким
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.