СИМПЛЕКТИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ

СИМПЛЕКТИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ

- многообразие, снабжённое симплектической структурой.

С. м. играют фундам. роль в классич., статистич. и квантовой механике, <поскольку симплектич. структура оказывается естественной геом. структуройфазовых пространств гамильтоновых систем. Все атрибуты гамильтоноваформализма переносятся на любое С. м., а координаты Дарбу являютсяканонич. переменными.

Примеры. 1) Фазовое пространство. Пусть X - конфигурац. пространствомеханич. системы, М = Т*Х - его кокасательное расслоение. Локальныекоординаты в М - это обобщённые координаты (q₁,..., q_n )точки q на X и обобщённые импульсы(p_I, ..., р _п )(координаты ковектора р из кокасательного пространства в точке q). Дифференциальная1-форма наз. формой Лиувилля и допускает инвариантное определение: её значениена касательном векторе v к М в точке ( р, q )задаётсякак значение ковектора р на образе вектора v при проекции Симплектич. структура w на М определяется как дифференциал формыЛиувилля:

2) Картина Шрёдингера - подход, основанный на гамильтоновом векторномполе. Гамильтониан H (ф-ция на С. м.) задаёт векторное поле v_H по правилу: отвечающее v_H поле ковекторов должносовпадать с дифференциалом dII ф-ции Гамильтона. Движение фазовойточки со скоростью v_H описывается системой дифференциальныхур-ний, к-рая в координатах Дарбу принимает вид ур-ний Гамильтона:

3) Картина Гейзенберга - подход, основанный на алгебре ф-ций. Ф-ла задаёт Пуассона скобку в пространстве (ф-ций на С. м. В координатахДарбу .Геом. интерпретация функции {H,F} как производной ф-ции F вдольпотока поля v_H означает, что картина Шрёдингера эквивалентнакартине Гейзенберга: физ. величины (ф-ции на фазовом пространстве) меняютсяво времени согласно ур-нию F = {H,F}. Из этой эквивалентности вытекаютосн. свойства законов сохранения: сохранение энергии ({H,H} = 0); Петертеорема - если поток поля v_F сохраняет ф-цию ГамильтонаЯ, то F - первый интеграл потока v_H;теорема Пуассона - скобка Пуассона {F,G} первых интегралов сновапервый интеграл (это следует из тождества Якоби).

Если же в пространстве ф-ций на многообразии задана скобка Пуассона, <то многообразие разбивается в объединение С. м., называемых симплектич. <слоями. Это один из способов строить примеры С. м., пополняя, в частности, <запас физ. моделей.

4) Статистич. механика. Поток векторного поля на С. м. сохраняет симплектич. <структуру w, если и только если это поле локально гамильтоново. В частности, <ого поток сохраняет фазовый объём ( п - число степеней свободы). Этот факт лежит в основе статистич. <механики. Эволюция фазовой плотности под действием потока поля v_H удовлетворяет ур-нию Лиувилля,.Отсюда вытекает, напр., стациопарность распределения Гиббса . В координатах Дарбу

5) Классич. подход к спину. Векторное произведение в 3-мерном евклидовомпространстве порождает скобку Пуассона ф-ций на нём. Симплектич. слои вданном примере - концентрич. сферы, снабжённые элементом площади. Вращенийгруппа сохраняет площади и потому действует на сфере потоками гамильтоновыхвекторных полей. Гамильтонианы действия - линейные ф-ции в пространстве. <Квантование этого действия возможно лишь на сферах целочисленной площади(в единицах h )и приводит к неприводимым представлениям группы вращений - как «векторным», так и «спинорным».

6) Принцип наименьшего действия. Двум траекториям в С. м. с общими концамисопоставим симплектич. площадь соединяющей их 2-мерной плёнки. Эта площадьпо существу не зависит от плёнки (замкнутость симплектич. структуры!) иопределяет поэтому функционал, называемый действием, на пространстве такихтраекторий (он определён с точностью до постоянного слагаемого). Экстремалифункционала действия в классе траекторий на поверхности фиксиров. уровнягамильтониана Н суть в точности траектории поля v_H (следствие косоортогональности поля v_H к уровням Н =const). Этот геом. вариационный принцип - прототип всех вариац. <принципов матем. физики.

Имеется и обратная связь - пространство экстремалей вариац. задачи, <как правило, несёт естественную симплектич. структуру. Последнее обстоятельстволежит в основе перехода от лагранжева формализма к гамильтонову, <а также даёт ещё один способ пополнять запас примеров С. м.

7) Теория Дирака. К гамильтонову формализму со связями обычно приходят, <отправляясь от лагранжиана, вырожденного по скоростям (определительматрицы производных лагранжиана по скоростям равен нулю). Требование непротиворечивостидинамич. ур-ний означает, что подмногообразие связей F в С. м. . инволютивно: пространство l связей (ф-ций на М, нулевых на F )замкнуто относительно скобки Пуассона Поток векторного поля, отвечающего гамильтониану Н, сохраняет F, если . Все такие гамильтонианы образуют замкнутую относительно скобки Пуассонаалгебру А. Физ. величины - это элементы фактор-алгебры A/J. Ихможно воспринимать как ф-ции на физ. фазовом пространстве В - базенек-рого расслоения <B. Скобка Пуассона в A/J наделяет В симплектич. структурой. Эта конструкция используется в калибровочноинвариантных теориях (см. Калибровочная инвариантность), где вместопроекции из l в В обычно фиксируют «калибровку», т. е. сечение расслоения в качестве физ. фазового пространства.

8) Ур-ние Эйлера (для твёрдого тела). Если действие группы Ли G наС. м. М сохраняет симплектич. структуру, то алгебра G-инвариантныхф-ций на М замкнута относительно скобки Пуассона. Рассматривая как алгебру ф-ций на многообразии А, получаем разбиение А насимплектич. слои, а также проекцию , сохраняющую скобки Пуассона. На этой конструкции основано понижение порядкасимметричных гамильтоновых систем: траектории на МG-инвариантногополя v_H проектируются в траектории гамильтонова потокана слоях в Л с гамильтонианом . Таким способом возникает, напр., ур-ние Эйлера, m = [mw], описывающееэволюцию вектора момента импульса во внутр. координатах твёрдого тела приего свободном вращении. Здесь G- группа вращений, М= T*G- её кокасательное расслоение, действие G на М задаётсясдвигами на группе, а проекция совпадает с отображением момента в двойственное пространство алгебры Ли группы G. Скобка Пуассона в порождается коммутатором в .Симплектич. слои в - это орбиты коприсоединённого представления группы G. Тензор инерциитела интерпретируется как оператор и устанавливает связь вектора угл. скорости w с вектором момента и задаёт на квадратичный гамильтониан

Аналогичная конструкцияс группой G сохраняющих объём диффеоморфизмов приводит к ур-ниювихря в теории свободного течения идеальной жидкости, где роль порождающего гамильтонианоператора инерции выполняет ротор.

Отображение момента играет фундам. роль в современной теории вполне интегрируемых систем. Вчастности, один из подходов к интегрированию Кортевега - де Фриса уравнения основан на его интерпретации как ур-ния Эйлера на орбите коприсоединённогопредставления в двойственном пространстве алгебры Вирасоро.

Лит.: Арнольд В. И., Математические методы классической механики,3 изд., М., 1989; Арнольд В. И., Гивенталь А. В., Симплектическая геометрия, <в кн.: Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальныенаправления, т. 4, М., 1985, с. 5; Кириллов А. А., Геометрическое квантование, <там же, с. 141. А. Б. Гивенталь.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.