- КОГОМОЛОГИЙ АЛГЕБР ЛИ
- специальный случай когомологий алгебр. Пусть
- алгебра Ли над коммутативным кольцом Кс единицей и пусть задан левый
-модуль V. т. е. линейное над Кпредставление алгебры
в K-модуле V. Модулем р-м ерных когомологий алгебры Ли
со значениями в F наз.
( К, V), р = 0, 1, 2,..., где
-универсальная обертывающая алгебра алгебры
[3]. Иначе говоря, соответствие
есть p-й правый производный функтор для функтора
из категории
-модулей в категорию K-модулей, где
}. Функтор
=
является когомологическим (см. Гомологический функтор).
В малых размерностях К. а. Ли интерпретируются следующим образом. Модуль
совпадает с
Если V', V"-
-модули, то
можно отождествить с множеством классов эквивалентных расширений
-модуля V" с ядром V'. Если рассматривать
как
-модуль относительно присоединенного представленияad, то
изоморфен фактормодулю
модуля всех дифференцирований по подмодулю внутренних дифференцирований. Если
есть свободный K-модуль (напр., К- поле), то
отождествляется с множеством классов эквивалентных расширений алгебры
ядром к-рых служит абелева алгебра Ли Vс заданным представлением алгебры
Модуль
интерпретируется также как множество инфинитезимальных деформаций алгебры Ли
Имеется следующая связь между К. а. Ли и когомологиями ассоциативных алгебр; если
- свободный K-модуль и V- произвольный двусторонний
-модуль, то
где представление алгебры
в Vопределяется формулой
Другой способ введения К. а. Ли (см. [6], [14]) использует коцепной комплекс
=
где
- модуль всех кососимметрических р-линейных отображений
снабженный кограницей
вида
где знак
показывает, что соответствующий аргумент пропускается. В случае, когда
- свободный К- модуль, когомологии этого комплекса естественно изоморфны модулям
С каждой подалгеброй
связывается подкомплекс
приводящий к относительным кого мологиям
=
Если V-алгебра над К, на к-рой
действует дифференцированиями, то в когомологиях возникает естественное умножение, к-рое превращает
в градуированную алгебру.
Пусть
- алгебра Ли (над R)гладких векторных полей на дифференцируемом многообразии М, V=F(M)- пространство гладких функций на Мс естественной структурой
-модуля. Определение кограницы в
формально совпадает с определением внешнего дифференциала дифференциальной формы. Точнее, комплекс де Рама есть подкомплекс в
состоящий из коцепей, линейных над F(M). С другой стороны, если
- алгебра Ли связной вещественной группы Ли G, то комплекс
отождествляется с комплексом левоинвариантных дифференциальных форм на G. Аналогично, если
- подалгебра, отвечающая связной замкнутой подгруппе
то
естественно изоморфен комплексу G-инвариантных дифференциальных форм на многообразии G/H. В частности, если Gкомпактна, то отсюда получаются изоморфизмы градуированных алгебр:
Именно эти факты послужили отправной точкой при определении К. а. Ли. На них основаны и приложения аппарата К. а. Ли к изучению когомологии главных расслоений и однородных пространств (см. [8], [14]).
Двойственным образом определяются гомологии алгебры Ли
с коэффициентами в правом
-модуле V. А именно, р-мерная группа гомологии есть K-модуль
В частности,
а если V- тривиальный
-модуль, то
При вычислении К. а. Ли широко используются следующие спектральные последовательности, часто наз. спектральными последовательностями Хохшильда - Серра. Пусть
- идеал в
и V- некоторый
- модуль. Если
и
- свободные K-модули, то существует спектральная последовательность
с
сходящаяся к
(см. [3], [14]).
Аналогичная спектральная последовательность существует для гомологии [3]. Далее, пусть
- конечномерная алгебра Ли над полем Кхарактеристики О,
- ее подалгебры, причем
редуктивна в
V-
-модуль, являющийся полупростым
-модулем. Тогда существует спектральная последовательность
с
сходящаяся к
(см. [12], [14]).
Полностью изучены когомологии конечномерных редуктивных и, в частности, полупростых алгебр Ли над полем характеристики 0. Если
- полупростая конечномерная алгебра Ли над таким полем, то для любого конечномерного
-модуля Vимеют место равенства
(леммы Уайтхеда). Первое из этих свойств является и достаточным условием полупростоты конечномерной алгебры
и равносильно также полупростоте всех конечномерных
-модулей. Второе свойство равносильно теореме Леви (см. Леви- Мальцева разложение). для алгебр Ли с абелевым радикалом [1], [5], [14]. Если
- редуктивная алгебра Ли,
- ее подалгебра и V- конечномерный полупростой модуль, то
что сводит вычисление когомологии к случаю тривиального
-модуля: V=K (см. [5], [14]). Алгебра когомологии
редуктивной алгебры Ли
естественно изоморфна алгебре
коцепей, инвариантных относительно ad. В этом случае
является алгеброй Хопфа и, следовательно, есть внешняя алгебра над пространством
примитивных элементов, градуированных нечетными степенями 2mi-1, i=l,. .., r. В частности,
есть размерность центра алгебры
а
изоморфно пространству инвариантных квадратичных форм на
(см. [12], [14]). Если Калгебраически замкнуто, то rесть ранг алгебры
т. е. размерность ее подалгебры Картана
а mi суть степени свободных образующих в алгебре многочленов на
инвариантных относительно ad (или в изоморфной, ей алгебре многочленов на
инвариантных относительно группы Вейля). В этом случае числа 2mi-1 совпадают с размерностями примитивных классов когомологии соответствующей компактной группы Ли.
Алгебра гомологии
редуктивной алгебры Ли
над полем характеристики 0 есть внешняя: алгебра, двойственная к
Для любой n-мерной унимодулярной алгебры Ли
справедлив аналог двойственности Пуанкаре:
где
и
- любая m-мерная редуктивная в
подалгебра (см. [14], [16]). Для когомологии разрешимых алгебр Ли известны, лишь немногие сколько-нибудь общие утверждения. Напр., пусть
- конечномерная нильпотентная алгебра Ли над бесконечным полем, а V- конечномерный
-модуль. Тогда
для всех р, если в Vнет тривиальных
-подмодулей, и
для р=0, l,...,n = dim
причем
для
если такой
-подмодуль существует (см.. [7]). Хорошо изучены группы Н p(n, V), где n - нильпотентный радикал параболической подалгебры
в некоторой полупростой алгебре Ли
над алгебраически замкнутым полем характеристики 0, а представление алгебры n в Vявляется ограничением некоторого представления алгебры
в V(см. [11]). Эти когомологии тесно связаны с когомологиями комплексного однородного пространства G/P, отвечающего паре
со значениями в пучках ростков голоморфных сечений однородных векторных расслоений над G/P. Для вычисления когомологий неполупростых конечномерных алгебр Ли над полем характеристики О полезна формула
где
- идеал в
причем
полупроста [14].
В некоторых случаях можно установить связь между К. а. Ли и когомологиями групп. Пусть G- связная вещественная группа Ли, К- ее максимальная компактная подалгебра,
- их алгебры Ли, V - конечномерный гладкий G-модуль. Если определить в V естественную структуру
-модуля, то когомологий
изоморфны когомологиям группы G{как абстрактной группы), вычисленным с помощью непрерывных коцепей [10]. С другой стороны, пусть
- алгебра Ли односвязной разрешимой группы Ли G, Г - решетка в Gи
- гладкое конечномерное линейное представление. Если r(Г)
AdГ плотна по Зарискому в алгебраич. замыкании группы
то
(см. [4]).
В общем случае
(р=0,1,...).
Для нильпотентной Q достаточно потребовать, чтобы р было унипотентным. Если решетка Г в односвязной разрешимой группе Gтакова, что AdГ плотна в алгебраич. замыкании группы AdГ (напр., Gнильпотентна), то
В последние годы стали систематически изучаться когомологий некоторых бесконечномерных алгебр Ли. К ним относятся алгебра
векторных полей на дифференцируемом многообразии М, алгебра Ли формальных векторных полей, подалгебры этих алгебр, состоящие из бездивергентных, гамильтоновых или канонических векторных полей (см. [2], [13]), а также некоторые классические банаховы алгебры Ли [9].
Лит.:[1] Джекобсон Н., Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964; [2] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 11, М., 1974, с. 37-123; [3] Картан А., Эйленберг С, Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [4] Рагунатан М., Дискретные подгруппы групп Ли, пер. с англ., М., 1977; [5] Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. Семинар "Софус Ли", пер. с франц., М., 1961; [6] Сhevаllе у С, Еilenberg S., "Trans. Amer. Math. Soc", 1948, v. 63, p. 85-124; [7] Dixmier J., "Acta scient. mat. Szeged", 1955, v. 16, № 3-4, p. 246-50; [8] Greub W., Ha1perin S., Vanstоne R., Connections, curvature and cohomology. Vol. 3: Cohomology of principal bundles and homogeneous spaces, N. Y.- L., 1975; [9] de la Harpe P., Classical Banach- Lie algebras and Banach - Lie groups of operators in Hilbert space, В.- Hdlb.-N. Y., 1972; [10] Hосhsсhild G., Mоstow G. D., "III. J. Math.", 1962, v. 6. № 3, p. 367 - 401; [11] Kostant В., "Ann. Math.", 1961, v. 74, № 2, p. 329-87; [12] Коszul J. L., "Bull. Soc. math. France", 1950, t. 78, p. 65-127; [13] Lichnerowicz A., "J. math, pures appl.", 1974, t. 53, №4, p. 459-83; [14] Verona A., Introducere 1n coomologia algebrelor Lie, Buc, 1974.
А. Л. Онищип.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.