- БОРЕЛЯ МЕРА
множеств- неотрицательная функция m подмножеств топологич. пространства X, обладающая следующими свойствами: 1) область ее определения есть
-алгебра
борелевских множеств из X, т. е. наименьший класс подмножеств из X, содержащий открытые множества и замкнутый относительно теоретико-множественных операций, производимых в счетном числе; 2)
при
то есть
счетно аддитивна. Б. м.
наз. регулярной, если
где
принадлежит классу
замкнутых подмножеств из X. Нередко изучение Б. м. связывают с изучением мер Бэра, к-рые отличаются от Б. м. лишь областью их определения: они определены на наименьшей
-алгебре
, относительно к-рой измеримы все непрерывные функции на X. Б. м.
(соответственно мера Бэра
) наз.
-гладкой, если
для любой сети
замкнутых множеств, удовлетворяющей условию
(соответственно
для любой сети
множеств, являющихся нулями непрерывных функций, при условии, что
Б. м.
(соответственно мера Бэра v) наз. п л о тн о и, если
, где
-класс компактных подмножеств из
X(соответственно
Плотность и
-гладкость являются ограничениями, обеспечивающими дополнительную гладкость мер, и часто выполняются в конкретных .ситуациях. При определенных условиях меры Бэра могут быть продолжены до Б. м. Напр., если Xвполне регулярно и хаусдорфово, то всякая
-гладкая (плотная) конечная мера Бэра может быть продолжена до регулярной
-гладкой (плотной) конечной Б. м. При изучении мер на локально компактных пространствах Б. м. (соответственно мерами Бэра) наз. иногда меры, определенные на
-кольце множеств, порожденном компактными (соответственно компактными
) множествами, и конечные на компактных множествах. Мерой Бореля на прямой часто наз. меру, определенную на борелевских множествах и такую, что ее значение на произвольном отрезке равно длине этого отрезка.
Лит.: [1] Варадарайн В. С., "Матем. сб.", 1961, т. 55, № 1, с. 35-100; [2] Xалмош П., Теория меры, пер. с англ., М., 1953; [3] Невё Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. с франц., М., 1969. В. В. Сазонов.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.