- ПЕРРОНА МЕТОД
- метод решения Дирихле задачи для Лапласа уравнения, основанный на свойствах субгармонических функций (и супергармонич. функций). Первоначальное изложение этого метода было дано О. Перроном [1], существенное развитие получено в работах Н. Винера [3] и М. В. Келдыша [4].
Пусть W - коночная область евклидова пространства
с границей
- действительная функция на
. Пусть Ф - (непустое) семейство всех супергармонич. функций
в широком смысле (т. е. функция
принадлежит Ф), ограниченных снизу и таких, что
и пусть
- нижняя огибающая семейства Ф. Наряду с Ф рассматривается (непустое) семейство Y всех субгармонич. функций, в широком смысле (функция u(x)
), ограниченных сверху и таких, что
и пусть
- верхняя огибающая семейства Y. Относительно функции
(и
) имеются только
три возможности:
- гармонич. функция, причем всегда
Функция
, наз. разрешимой, если обе огибающие
и
конечны и совпадают. В этом случае гармонич. функция
есть обобщенное решение задачи Дирихле для функции
(в смысле Винера - Перрона).
Для того чтобы функция
, была разрешимой, необходимо и достаточно, чтобы она была интегрируемой по гармонич. мере на Г (теорема Брело). Любая непрерывная конечная функция
, разрешима (теорема Винера).
Точка
наз. регулярной граничной точкой, если для любой непрерывной конечной функции
, выполняется предельное соотношение
Регулярность всех точек
равносильна существованию классич. решения wf(x).задачи Дирихле для любой непрерывной конечной функции
причем в этом случае
; область W, все граничные точки к-рой регулярны, иногда наз. также регулярной. Для того чтобы точка
была регулярной, необходимо и достаточно, чтобы существовал барьер в у 0.
Точки
, не являющиеся регулярными, наз. иррегулярными граничными точками. Напр., иррегулярными граничными точками являются изолированные точки и при
вершины достаточно сильно заостренных входящих в область W острий (пример Лебега). Множество всех иррегулярных точек Г есть множество типа Fs емкости нуль.
Пусть имеется последовательность областей Wk,
, такая, что
, и непрерывная конечная функция
, продолжена непрерывно на окрестность Г. Тогда
равномерно внутри W; в случае регулярных областей Wk здесь получается конструкция обобщенного решения задачи Дирихле по Винеру. Рассмотрим теперь для области W без внутренней границы произвольную последовательность областей
В этом случае, вообще говоря,
Задача Дирихле устойчива в области W или в замкнутой области
, если
соответственно для всех
или для всех
. Для устойчивости задачи Дирихле в области W. необходимо и достаточно, чтобы множества всех иррегулярных точек дополнений CW. и
совпадали; для устойчивости в замкнутой области - чтобы дополнение
не имело иррегулярных точек (теоремы Келдыша, см. [4], где построен также пример регулярной области W, внутри к-рой задача Дирихле неустойчива). См. также Верхних и нижних функций метод. Лит.:[1] Perron О., "Math. Z.", 1923, Bd 18, S. 42-54; [2] Петровокий И. Г., "Успехи ыатем. наук",. 1941 [1940], в. 8, с. 107-14; [3] Wiеnеr N., "J. Math, and Phys.", 1924, v. 3, p. 24-51, 127-46; 1925, v. 4, p. 21-32; [41 Келдыш М. В., "Успехи матем. наук", 1941 [1940], п. 8, с. 171 - 231; [5] Брело М., Основы классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964. Е. Д. Соломенцев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.