ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

краевая задача специального вида; заключается в отыскании в области Dпеременных x=(x1,..., х п).решения дифференциального уравнения

(1)

четного порядка 2т по заданным значениям всех производных порядка не выше тна границе Sобласти D(или ее части). Эти условия обычно задаются в виде

(2)

где - производная по направлению внешней

нормали к . Функции наз. данными Дирихле, а сама задача (1), (2), если

,- Дирихле задачей. Для обыкновенного дифференциального уравнения

(3)

в области D=(x0<x<x1) П. к. з. определяется краевым условием


Для линейного равномерно эллиптич. уравнения

(4)

П. к. з. (задача Дирихле) состоит в нахождении решений этого уравнения при условии


Если функции и (n-1)-мерное многообразие дD достаточно гладки, то эта задача фредгольмова. В частности, когда мера Dдостаточно мала или когда в D, П. к. з. однозначно разрешима. Условия гладкости могут быть значительно ослаблены как в отношении коэффициентов уравнения и данных Дирихле, так и в отношении границы дD.

Если (1) является системой N>1 уравнений относительно неизвестного N-компонентного вектора и, то П. к. з. ставится аналогичным образом. В этом случае между задачами Дирихле для систем (3) и (4) имеется существенное различие: если задача (3), (2) (S=дD).всегда фредгольмова, то фредгольмовость задачи (4), (2) может нарушаться. Напр., однородная задача Дирихле для равномерно эллиптич. системы Бицадзе (см. [1])


в круге имеет бесконечное число линейно независимых решений. Этот пример послужил отправным пунктом различных дополнительных условий на L(правильная эллиптичность, сильная эллиптичность), обеспечивающих фредгольмовость задачи Дирихле. Для линейных параболич. уравнений П. к. з. ставится в цилиндре и носителем данных Дирихле служит его основание и боковая поверхность. Напр., для уравнения теплопроводности


решение ищется в области


и носителем данных Дирихле служит


Если граница - гладкое (n-1)-мерное многообразие, функция ср гладкая и выполнено условие согласования на , то П. к. з. однозначно разрешима .

Лит.:[1] Бицадяе А. В., Некоторые классы уравнений в частных производных, М., 1981; [2] Вере Л., Джон Ф., Шехтер М., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1966; [3] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; [4] Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957; [5] Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961; [6] Бицадзе А. В., Уравнения математической физики, М., 1976; [7] Xермандер Л., Линейные дифференциальные операторы с частными производными, пер. с англ., М., 1965.

А. П. Солдатов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА" в других словарях:

  • КРАЕВАЯ ЗАДАЧА — теории потенциала основная задача потенциала теории как классической, так и абстрактной. Поскольку классические ньютонов и логарифмич. потенциалы удовлетворяют определенным дифференциальным уравнениям с частными производными эллиптич. типа, а… …   Математическая энциклопедия

  • СМЕШАННАЯ И КРАЕВАЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ — задачи отыскания решений и( х, t) = (u1(x, t),..., и т( х, t) в области Dевклидова пространства =(x1, . . ., х п, t) точка пространства ) параболич. системы уравнений или при m =1параболич. уравнения, удовлетворяющих нек рым дополнительным… …   Математическая энциклопедия

  • Принцип максимума (уравнение теплопроводности) — Механика сплошных сред Сплошная среда Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса …   Википедия

  • МАЛОГО ПАРАМЕТРА МЕТОД — в т е о р и и дифференциальных уравнений приемы построения приближенных решений дифференциальных уравнений и систем, зависящих от параметра. 1) М. п. м. для обыкновенных дифференциальных уравнении. Обыкновенные дифференциальные уравнения, к к рым …   Математическая энциклопедия

  • ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — действительная функция заданная в области Dевклидова пространства имеющая в Dнепрерывные частные производные 1 го и 2 го порядков и являющаяся решением Лапласа уравнения где декартовы прямоугольные координаты точки х. Иногда это определение… …   Математическая энциклопедия

  • ЖИРО УСЛОВИЯ — условия разрешимости в классич. смысле основных краевых задач для линейного эллиптич. уравнения 2 го порядка. Пусть в ограниченной TV мерной области Dс границей Г задано эллиптич. уравнение Требуется найти функцию и(х), к рая: 1) принадлежит… …   Математическая энциклопедия

  • Уравнение теплопроводности — Пример численного решения уравнения теплопроводности. Цветом и высотой поверхности передана температура данной точки. Уравнение теплопроводности  важное уравнение в частных производных, которое описывает распространение тепла в заданной… …   Википедия

  • ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ — однородное дифференциальное уравнение с частными производными вида где функция от пдействительных переменных. Левая часть Л. у. наз. Лапласа оператором от функции и. Регулярные решения Л. у. класса С 2 в нек рой области Dевклидова пространства т …   Математическая энциклопедия

  • Уравнение диффузии —     Механика сплошных сред …   Википедия

  • ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, непрерывная со своими вторыми производными в области G и удовлетворяющая в G Лапласа уравнению =0. Г. ф. возникают при решении задач электростатики, теории тяготения, гидродинамики несжимаемой жидкости, теории упругости и др. Г. ф.… …   Физическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»