МОНЖА - АМПЕРА УРАВНЕНИЕ

- дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка вида

коэффициенты к-рого зависят от переменных x, у, неизвестной функции z( х, у )и ее первых производных

Тип М.- А. у. зависит от знака выражения

Если , М.-А. у. есть уравнение эллиптич. типа, если . - гиперболического, если - параболического. М.-А. у. инвариантно относительно преобразования прикосновения. В частности, преобразование переводит уравнение в уравнение

Развитие теории М.- А. у. связано главным образом с решением различных задач геометрии, к-рые в аналитич. остановке сводятся к рассмотрению таких уравнений. Напр., построение поверхности с данным линейным элементом сводится к решению уравнения Дарбу, к-рое является М.-А. у. В случае полугеодезич. параметризации (линейный элемент ) это уравнение имеет вид

Тип уравнения Дарбу зависит от знака гауссовой кривизны В случае гиперболич. типа уравнения Дарбу (гауссова кривизна отрицательна) характеристиками являются асимптотич. линии. Применение теоремы Коши - Ковалевской к уравнению Дарбу дает теорему существования поверхности с данным линейным элементом, коэффициенты к-рого являются аналитич. циями.

Особенно высокого уровня развития теория М.- А. у. эллиптич. типа получила благодаря введению понятия обобщенного решения и применению геометрия, методов его изучения. В простейшем случае уравнения обобщенное решение определяется как выпуклая функция удовлетворяющая равенству

где М- произвольное борелевское множество плоскости ху в области, где рассматривается решение, а - т. н. нормальное изображение множества М, к-рое состоит из тех точек плоскости pq, для к-рых ри qявляются угловыми коэффициентами опорных плоскостей поверхности z=z(z, у)в точках ( х, у,z), проектирующихся в М. Регулярное (дважды дифференцируемое) решение является обобщенным. Обобщенное решение в случае непрерывной положительной функции j является гладким, однако вторые производные могут не существовать. Построение обобщенного решения в своей существенной части сводится к чисто геометрич. задаче о построении бесконечного выпуклого многогранника с заданными направлениями конечных граней и заданной функцией на этих гранях. В частности, если правая часть уравнения зависит только от хи у, этой функцией является площадь грани. Предельным переходом от таких многогранников получается график обобщенного решения уравнения. Для обобщенных решений получаются достаточно общие теоремы существования и единственности решения задачи Дирихле. В частности, имеет место следующая теорема. Задача Дирихле для уравнения

в выпуклой области Gразрешима при любых непрерывных граничных значениях, если кривизна кривой, ограничивающей область G, положительна, функция непрерывна, положительна, неубывающая по z и при имеет порядок роста не более

При заданном направлении выпуклости это решение является единственным.

Существенным результатом теории М.-А. у. эллиптич. типа является теорема о регулярности обобщенных решений. Для простейшего уравнения

эта теорема гласит: при всякое обобщенное решение с регулярной правой частью является регулярным. Именно, если есть краз дифференцируемая функция , то обобщенное решение по крайней мере k+1 раз дифференцируемо. Если - аналитич. ция, то обобщенное решение - аналитическое.

Среди общих М.-А. у. эллиптич. типа наиболее изучены сильно эллиптические уравнения. Это - уравнения, у к-рых и квадратичная форма

неотрицательна. Основные результаты, приведенные для простейшего М.-А. у., распространены на случай сильно эллиптич. уравнений. Для них введено понятие обобщенного решения, при весьма общих условиях доказано существование и единственность решения задачи Дирихле, а также доказана регулярность обобщенного решения в зависимости от регулярности коэффициентов уравнения. Уравнение Дарбу для линейного элемента с положительной кривизной, вообще говоря, не является сильно эллиптическим. Его обобщенное решение определяется как z-координата поверхности, реализующей данный линейный элемент. Уравнение Дарбу имеет обобщенное решение в любой области, выпуклой в смысле заданной метрики (геодезич. кривизна края положительна). В любой такой области при достаточно общих условиях доказывается разрешимость задачи Дирихле. Обобщенное решение является регулярным, если коэффициенты линейного элемента являются регулярными. Обобщенное решение - аналитическое, если коэффициенты - аналитические.

Важные результаты получены для М.-А. у. эллиптич. типа на многообразиях, гомеоморфных сфере. К таким уравнениям приводят, в частности, две классич. проблемы: Вейля проблема и Минковского проблема. Решения этих проблем, полученные предельным переходом от многогранников, являются обобщенными. Регулярность этих решений получается из теорем о регулярности обобщенных решений.

М.-А. у. рассматривались Г. Монжем (G. Monge, 1784) и А. Ампером (A. Ampere, 1820).

Лит.:[1] Гурса Э., Курс математического анализа, пер. с франц., т. 3, ч. 1, М,- Л., 1933; [2] Погорелов А. В., Об уравнениях Монжа - Ампера эллиптического типа, Хар.., 1960; [3] его же, Внешняя геометрия выпуклых поверхностей, М., 1969.

А. В. Погорелое.