ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННАЯ ГРУППА

ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННАЯ ГРУППА

алгебраическая система G, являющаяся группой относительно операции умножения, линейно упорядоченным множеством относительно бинарного отношения порядка и удовлетворяющая аксиоме: для любых элементов из следует

Множество положительных элементов Л. у. г. Gобладает свойствами: 1)


Обратно, если в группе G имеется множество P, удовлетворяющее свойствам 1) - 4), то Gможет быть превращена в Л. у. г., множество положительных элементов к-рой есть Р.

Имеется большое число признаков упорядочиваемости группы. Упорядочиваемые группы являются группами без кручения с однозначным извлечением корня. Упорядочиваемыми являются все абелевы группы без кручения, нильпотентные группы без кручения, свободные группы и свободные разрешимые группы. Существуют простые и нехопфовы Л. у. г. Факторгруппа упорядочиваемой группы по ее центру упорядочиваема.

Прямое, полное прямое и свободное произведения, а также сплетение Л. у. г. могут быть линейно упорядочены с продолжением порядков сомножителей. Группа, аппроксимируемая упорядочиваемыми группами, сама упорядочиваема. Для упорядочиваемых групп справедлива локальная теорема (см. Мальцева локальные теоремы). Л. у. г. вкладывается в мультипликативную группу линейно упорядоченного тела и в простую Л. у. г. Класс упорядочиваемых групп - аксиоматизируемый. Л. у. г. является топологической группой с интервальной топологией. Л. у. г. является архимедовой группой тогда и только тогда, когда она не имеет нетривиальных выпуклых подгрупп. Любая архимедова Л. у. г. изоморфна нек-рой подгруппе аддитивной группы действительных чисел с естественным порядком. Множество всех выпуклых подгрупп Л. у. г. образует полную инфраинвариантную систему, факторы к-рой архимедовы, и, значит, Л. у. г. обладают разрешимыми нормальными системами (см. Подгрупп система).

Специфическими для теории Л. у. г. являются вопросы, связанные с продолжением частичных порядков (см. Доупорядочиваемая группа). Имеется ряд обобщений понятия Л. у. г.

Лит.:[1] Кокорин А. И., Копытов В. М., Линейно упорядоченные группы, М., 1972; [2] Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраические системы, пер. с англ., М., 1965; [3] Б у р б а к и Н., Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, пер. с франц., М., 1965.

А. И. Кокорин, В. М. Копытов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННАЯ ГРУППА" в других словарях:

  • ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННАЯ ГРУППА — группа G, на к рой задано отношение частичного порядка такое, что для любых а, b, х, у из G неравенство влечет за собой Множество Ч. у. г., называемое положительным конусом, или целой частью, группы G, обладает свойствами: 1) 2) 3) для любых… …   Математическая энциклопедия

  • УПОРЯДОЧЕННАЯ ГРУППА — группа G, на к poй задано отношение порядка такое, что для любых а, b, х, у из G неравенство влечет за собой Порядок, как правило, подразумевается линейным и в этом случае понятие У. г. совпадает с понятием линейно упорядоченной группы. Иногда… …   Математическая энциклопедия

  • СТРУКТУРНО УПОРЯДОЧЕННАЯ ГРУППА — решеточно упорядоченная группа, l группа, группа G, на множестве элементов к рой задано отношение частичного порядка обладающее свойствами: 1) G решетка относительно т. е. для любых существуют элементы такие, что и для любого выполнено и для… …   Математическая энциклопедия

  • УПОРЯДОЧЕННАЯ ПОЛУГРУППА — полугруппа, наделенная структурой (частичного, вообще говоря) порядка стабильного относительно полугрупповой операции, т. е. для любых элементов а, b, с из следует и Если отношение на У. н. Sесть линейный порядок, то S наз. линейно упорядоченной… …   Математическая энциклопедия

  • АРХИМЕДОВА ГРУППА — частично упорядоченная группа, в к рой выполняется аксиома Архимеда: из того, что для всех целых ( элементы А. г.), следует, что а единица группы (в аддитивной записи: из для всех целых пследует, что ). Для линейно упорядоченных А. г. существует… …   Математическая энциклопедия

  • ГРУППА — множество, на к ром определена операция, наз. умножением и удовлетворяющая спец. условиям (групповым аксиомам): в Г. существует единичный элемент; для каждого элемента Г. существует обратный; операция умножения ассоциативна. Понятие Г. возникло… …   Физическая энциклопедия

  • ПРАВОУПОРЯДОЧЕННАЯ ГРУППА — группа G, на множестве элементов которой задано отношение линейного порядка такое, что для всех х, у, z из G неравенство влечет за собой . Множество положительных элементов группы Gявляется чистой (то есть ) линейной (то есть ) полугруппой.… …   Математическая энциклопедия

  • ВЕКТОРНАЯ ГРУППА — частично упорядоченная группа, вложимая в полное прямое произведение линейно упорядоченных групп. Группа Gтогда и только тогда есть В. г., когда ее частичный порядок есть пересечение линейных порядков G. Частично упорядоченная группа тогда и… …   Математическая энциклопедия

  • Аксиома Архимеда — для отрезков …   Википедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ АВТОМОРФИЗМ — Ч изоморфное отображение алгебраической системы на себя. Автоморфизмом (А.) системы наз. всякое взаимно однозначное отображение множества Ана себя, обладающее свойствами: для всех . из Аи для всех из . Другими словами, А …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»