ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННАЯ ГРУППА
- ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННАЯ ГРУППА
группа G, на к-рой задано отношение частичного порядка 
такое, что для любых а, b, х, у из G неравенство 
влечет за собой 
Множество 
Ч. у. г., называемое положительным конусом, или целой частью, группы G, обладает свойствами: 1)
2) 
3) 
для любых 
Всякое подмножество Ргруппы G, удовлетворяющее условиям 1) - 3), задает на Gчастичный порядок 
тогда и только тогда, когда 
для к-рого Рслужит положительным конусом.
Примеры Ч. у. г.: аддитивная гpyппa действительных чисел с обычным порядком; группа 
функций, заданных на произвольном множестве Xсо значениями в 
с операцией (f+g)(x) = f(x) + g(x)и отношением порядка 
если 
для всех 
группа (М)всех автоморфизмов линейно упорядоченного множества Мна себя, относительно суперпозиции отображений и с отношением порядка:
если 
для любого 
Основными понятиями теории Ч. у. г. являются понятия порядкового гомоморфизма (см. Упорядоченная группа), выпуклой подгруппы, декартова и лексикографич. произведений.
Важнейшие классы Ч. у. г.: линейно упорядоченные группы, структурно упорядоченные группы.
Лит.:[1] Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952: [2] Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраические системы, пер. с англ., М., 1965.
В. М. Копытов.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия.
И. М. Виноградов.
1977—1985.
Полезное
Смотреть что такое "ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННАЯ ГРУППА" в других словарях:
УПОРЯДОЧЕННАЯ ГРУППА — группа G, на к poй задано отношение порядка такое, что для любых а, b, х, у из G неравенство влечет за собой Порядок, как правило, подразумевается линейным и в этом случае понятие У. г. совпадает с понятием линейно упорядоченной группы. Иногда… … Математическая энциклопедия
СТРУКТУРНО УПОРЯДОЧЕННАЯ ГРУППА — решеточно упорядоченная группа, l группа, группа G, на множестве элементов к рой задано отношение частичного порядка обладающее свойствами: 1) G решетка относительно т. е. для любых существуют элементы такие, что и для любого выполнено и для… … Математическая энциклопедия
ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННАЯ ГРУППА — алгебраическая система G, являющаяся группой относительно операции умножения, линейно упорядоченным множеством относительно бинарного отношения порядка и удовлетворяющая аксиоме: для любых элементов из следует Множество положительных элементов Л … Математическая энциклопедия
АРХИМЕДОВА ГРУППА — частично упорядоченная группа, в к рой выполняется аксиома Архимеда: из того, что для всех целых ( элементы А. г.), следует, что а единица группы (в аддитивной записи: из для всех целых пследует, что ). Для линейно упорядоченных А. г. существует… … Математическая энциклопедия
ВЕКТОРНАЯ ГРУППА — частично упорядоченная группа, вложимая в полное прямое произведение линейно упорядоченных групп. Группа Gтогда и только тогда есть В. г., когда ее частичный порядок есть пересечение линейных порядков G. Частично упорядоченная группа тогда и… … Математическая энциклопедия
УПОРЯДОЧЕННАЯ ПОЛУГРУППА — полугруппа, наделенная структурой (частичного, вообще говоря) порядка стабильного относительно полугрупповой операции, т. е. для любых элементов а, b, с из следует и Если отношение на У. н. Sесть линейный порядок, то S наз. линейно упорядоченной… … Математическая энциклопедия
ПОРЯДОК — 1) П. алгебраич. кривой F( х, y)=0, где F( х, у) многочлен от хи у, наз. наивысшую степень членов этого многочлена. Напр., эллипс + =1 есть кривая второго П., а лемниската ( х 2+y2)2=а 2 ( х 2 у 2) кривая четвертого П. 2) П. бесконечно малой… … Математическая энциклопедия
УПОРЯДОЧЕННОЕ КОЛЬЦО — частично упорядоченное кольцо, кольцо R(не обязательно ассоциативное), являющееся частично упорядоченной группой по сложению, в к ром для любых a, b, неравенства и влекут за собой неравенства и Всякое кольцо является У. к. с тривиальным порядком … Математическая энциклопедия
УПОРЯДОЧЕННЫЙ ГРУППОИД — группоид Н, множество элементов к рого частично упорядочено отношением и, кроме того, операция и порядок связаны аксиомой Если У . г . Н подчиняется более сильной аксиоме то порядок в H наз. строгим, а Н строгим частично упорядоченным группоидом … Математическая энциклопедия
РЕШЕТКА — с т р у к т у р а, частично упорядоченное множество, в к ром каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю, так и точную нижнюю грани. Отсюда вытекает существование этих граней для всякого непустого конечного подмножества. П р и м е … Математическая энциклопедия
