ПРАВОУПОРЯДОЧЕННАЯ ГРУППА

группа G, на множестве элементов которой задано отношение линейного порядка такое, что для всех х, у, z из G неравенство влечет за собой . Множество положительных элементов группы Gявляется чистой (то есть ) линейной (то есть ) полугруппой. Всякая чистая линейная подполугруппа Рпроизвольной группы определяет в ней правый порядок, а именно порядок .

Группа (X).автоморфизмов линейно упорядоченного множества Xестественным образом может быть правоупорядочена. Всякая П. г. порядково изоморфна нек-рой подгруппе (X).для подходящего линейно упорядоченного множества (см. [1]). Архимедова П. г., то есть П. г., для к-рой верна аксиома Архимеда (см. Архимедова группа), порядково изоморфна подгруппе аддитивной группы действительных чисел. В отличие от (двусторонне) линейно упорядоченных групп существуют некоммутативные П. г. без собственных выпуклых подгрупп. Класс П. г. замкнут относительно лексико-графич. расширений. Система всех выпуклых подгрупп П. г. G линейно упорядочена по включению и полна. Эта система разрешима тогда и только тогда, когда для всяких положительных элементов a, bG существует натуральное число птакое, что а ⁿb>а. Если группа обладает разрешимой системой подгрупп S(G), факторы к-рой не имеют кручения, то G можно так правоупорядочить, что все подгруппы из S (G) окажутся выпуклыми. В локально нильпотентной П. г. система выпуклых подгрупп разрешима.

Группа G тогда и только тогда может быть правоупорядочена, когда для любого конечного набора

элементов из G найдутся числа , такие, что полугруппа, порожденная множеством , не содержит единицы группы G.

Всякий структурный (решеточный) порядок группы есть пересечение нек-рых ее правых порядков (см. Структурно упорядоченная группа).

Лит.:[1] Кокорин А. <И., Копытов В. М., Линейно упорядоченные группы, М., 1972; [2] Мurа R. В., Rhеmtulla A., Orderable groups, N.Y.-Basel, 1977.

В. М. Копытов.