АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ АВТОМОРФИЗМ

Ч изоморфное отображение алгебраической системы на себя. Автоморфизмом (А.) -системы наз. всякое взаимно однозначное отображение множества Ана себя, обладающее свойствами:

для всех . из Аи для всех из . Другими словами, А. -системы есть изоморфное отображение системы на себя. Пусть Ч множество всех А. системы . Если , то обратное отображение также обладает свойствами (1), (2) и поэтому Произведение А. системы , определяемое формулой снова является А. системы . Поскольку умножение отображений ассоциативно, то есть группа, наз. группой всех A системы и обозначаемая через . Подгруппы группы наз. просто группами А. системы .

Пусть Ч А. системы и Ч конгруэнция этой системы. Полагая

получим снова конгруэнцию системы .А.наз. IС- автоморфизмом, если для любой конгруэнции системы . Множество всех автоморфизмов системы является нормальным делителем группы , и факторгруппа изоморфна нек-рой группе А. решетки всех конгруэнции системы . В частности, всякий внутренний А. группы, определяемый к.-л. фиксированным элементом аэтой группы, является IС -автоморфизмом. Однако пример циклич. группы простого норядка показывает, что не всякий IС -автоморфизм группы Ч внутренний.

Пусть Ч нетривиальное многообразие -систем или к.-л. другой класс -систем, обладающий свободными системами любого (ненулевого) ранга. А. системы из класса наз. I-автоморфизмом, если существует терм сигнатуры от неизвестных для к-рого: 1) в системе существуют такие элементы что для каждого элемента имеет место равенство

2) для любой системы из класса отображение

является А. этой системы при любом выборе элементов в системе . Множество всех -автоморфизмов каждой системы из класса является нормальным делителем группы . В классе всех групп понятие -автоморфизма совпадает с понятиен внутреннего А. группы [2]. Более общее понятие формульного А. -системы см. в [3].

Пусть Ч алгебраич. система. Заменяя каждую основную операцию в предикатом

получим так наз. модель , представляющую систему . Справедливо равенство

Если системы имеют общий носитель A и , то . Если система с конечным числом порождающих финитно аппроксимируема, то группа также финитно аппроксимируема (см. [1], с. 432). Пусть Ч класс -систем и пусть Ч класс всех изоморфных копий групп а Ч класс подгрупп групп из класса . Класс состоит из групп, изоморфно вложимых в группы Aut(A) .

В исследовании групп А. алгебраич. систем выделились следующие две проблемы.

1)   Пусть дан класс -систем. Что можно сказать о классах ^и?

2)   Пусть дан (абстрактный) класс Кгрупп. Существует ли класс -систем данной сигнатуры такой, что или хотя бы ? Доказано, что для любого аксиоматизируемого класса моделей класс групп универсально аксиоматизируем [1]. Доказано также [1], [4], что если Ч аксиоматизируемый класс моделей, имеющий бесконечные модели, Ч линейно упорядоченное множество и Ч группа А. модели , то существует модель такая, что и для каждого элемента существует А. системы такой, что для всех . Группа Gназ.: 1) универсальной, если для любого аксиоматизируемого класса ,fi моделей, обладающего бесконечными моделями; 2) группой порядковых А. упорядочиваемой группы (см. Линейно упорядоченная группа), если изоморфна нек-рой группе А. группы , сохраняющих фиксированный линейный порядок этой группы (т. е.для всех ). Пусть Ч класс линейно упорядоченных множеств Ч класс универсальных групп, Ч класс правоупорядочиваемых групп, Ч класс групп порядковых А. свободных абелевых групп. Тогда (см. [4] - [6]):

Каждая группа изоморфна группе всех А. нек-рой Ч алгебры. Если Ч класс всех колец, то Ч класс всех групп (см. [1], с. 117, 118). Но если Ч класс всех групп, то напр., циклич. группы порядков 3, 5, 7, соответственно, не принадлежат классу . Не существует также тоиологич. группы, для к-рой группа всех топологич. А. была бы изоморфна группе (см. [7]).

 

Лит.:[1] Плоткин Б. И., Группы автоморфизмов алгебраических систем, М., 1966; [2] Csakuny В., «Publ. Math. Debrecen», 1965, v. 12, p. 331Ч33; [3] Grant I., «Pacif. J. Math.», 1973, v. 44, №1, p. 107Ч15; [4] Rabin M. O., в кн.: The theory of models, Amst., 1965, p. 274Ч84; [5] Соhn P. M., «Mathematika», 1957, v. 4, № 7, p. 41Ч50; [6] Смирнов Д. М., «Алгебра и логика», 1966, т. 5, № 6, с. 41 Ч 59; [7] Willе R. J., «Quart. J. Math. Oxford», ser. 2, 1967, v. 18, № 69, p. 53 Ч 57. 

Д. М. Смирнов.