- ЛИ РЕДУКТИВНАЯ АЛГЕБРА
- конечномерная алгебра Ли над полем kхарактеристики 0, присоединенное представление к-рой вполне приводимо. Свойство редуктивности алгебры Ли
равносильно любому из следующих свойств:
1)
радикал
алгебры Ли
совпадает с центром
2)
, где
- полупростой идеал в
;
3)
где
- простые идеалы;
4)
допускает точное вполне приводимое конечномерное линейное представление.
Свойство редуктивности алгеб, ры Ли сохраняется как при расширении, так и при сужении основного поля k.
Важный класс Ли р. а. над
составляют компактные алгебры Ли (см. Ли компактная группа). Группу Ли, алгебра Ли к-рой редуктивна, часто наз. р е д у к т и в н о й группой Ли. Если kалгебраически замкнуто, то алгебра Ли над kявляется редуктивной тогда и только тогда, когда она изоморфна алгебре Ли нек-рой редуктивной алгебраич. группы над k.
Обобщением понятия Ли р. а. является следующее понятие. Подалгебра
конечномерной алгебры Ли
над kназ. редуктивной в
если присоединенное представление ad:
вполне приводимо. В этом случае
будет Ли р. а. Если kалгебраически замкнуто, то для редуктивности подалгебры
в
необходимо и достаточно следующее условие:
состоит из полупростых линейных преобразований.
Лит.:[1] С е р р Ж.- П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с англ, и франц., М., 1969. А. Л. Онищик.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.