ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ПОДГРУППА

1) П . п. линейной алгебраич. группы G, определенной над нолем k,- замкнутая в Зариского топологии, подгруппа такая, что факторпространство G/P является проективным алгебраич. многообразием.

Подгруппа тогда и только тогда является П. п., когда она содержит какую-нибудь Бореля подгруппу группы G. Параболической подгруппой группы G_k, k- рациональных точек группы G наз. подгруппа , являющаяся группой k-рациональ-ных точек нек-рой П. п. Рв G и плотная в Рв топологии Зариского. Если chark=0 и - алгебра Ли группы G, то замкнутая подгруппа тогда и только тогда является П. п., когда ее алгебра Ли является параболической подалгеброй в.

Пусть G - связная редуктивная линейная алгебраич. группа. Минимальные k-замкнутые (т. е. определенные над k).П. п. играют в теории таких групп для произвольного основного поля kту же роль, что подгруппы Бореля для алгебраически замкнутого поля k(см. [1]). В частности, любые две минимальные k-замкнутые П. п. группы G сопряжены над k. Если две k-замкнутые П. п. группы G сопряжены над каким-нибудь расширением поля k, то они сопряжены и над k. Множество классов сопряженных П. п. (соответственно множество классов сопряженных k-замкнутых П. п.) группы G состоит из 2^r (соответственно 2^rk) элементов, где r - ранг коммутанта (G, G) группы G, а r_k - его k-ранг, равный размерности максимального расщепимого над kтора в (G, G). Точнее, каждый такой класс определяется нек-рым произвольным подмножеством множества простых корней (соответственно простых k-корней) группы G аналогично тому, как каждая параболич. подалгебра редуктивной алгебры Ли сопряжена одной из стандартных подалгебр (см. [2], [4]).

Всякая П. п. Ргруппы G связна, совпадает со своим нормализатором и допускает разложение Леви, т. е. может быть представлена в виде полупрямого произведения своего унипотентного радикала и нек-рой k-замкнутой редуктивной подгруппы, наз. подгруппой Лев и группы Р. Любые две подгруппы Леви в П. п. Р сопряжены посредством рационального над kэлемента группы Р. Две П. п. группы G наз. противоположными, если их пересечение является подгруппой Леви в каждой из них. Замкнутая подгруппа группы G тогда и только тогда является П. п., когда она совпадает с нормализатором своего уншютентного радикала. Всякая максимальная замкнутая подгруппа группы G либо является П. п., либо имеет редуктивную связную компоненту единицы (см. [2], [4]).

П. п. в группе GL_n(k).невырожденных линейных преобразований n-мерного векторного пространства Vнад полем kисчерпываются подгруппами P(v), состоящими из всех автоморфизмов пространства V, которые сохраняют фиксированный флаг типа v= (n₁, п ₂, . . ., n_t) в V. При этом фактор пространство GL_n(k)/P(v).совпадает с многообразием всех флагов типа v в пространстве V.

В случае, когда - замкнутые П. п. допускают следующую геометрич. интерпретацию (см. [5]). Пусть - некомпактная полупростая вещественная группа Ли, совпадающая с группой вещественных точек полупростой алгебраич. группы G. Подгруппа группы тогда и только тогда является П. п., когда она совпадает с группой движений соответствующего некомпактного симметрич. пространства М, сохраняющих нек-рый k-пучок геодезич. лучей в М(два геодезич. луча в Мсчитаются принадлежащими одному k-пучку, если расстояние между двумя точками, движущимися с одинаковыми постоянными скоростями вдоль этих лучей в бесконечность, стремится к конечному пределу).

2) П. и. системы Титсa (G, В, N, S).- подгруппа группы G, сопряженная подгруппе, содержащей В. Каждая П. п. совпадает со своим нормализатором.

Пересечение любых двух П. п. содержит подгруппу группы G, сопряженную с . В частности, П. п. системы Титса, связанной с редуктивной линейной алгебраич. группой G,- это то же, что П. п. группы G (см. [3], [4]).

Лит.:[1] Борель А., Тите Ж., "Математика", 1967, т. 11, М 1, с. 43-111; [2] их же, там же, 1972, т. 16, № 3, с. 3-12; [3] Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли. Подалгебры Картава, регулярные элементы, расщепляемые полупростые алгебры Ли, пер. с франц., М., 1978; [4] Хамфри Д ж., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980; [5] Карпелевич Ф. И., "Труды Моск. матем. об-ва", 1985, т. 14, с. 48-185. В. <Л. Попов.