- ГАУССА РАЗЛОЖЕНИЕ
топологической группыС- представление всюду плотного подмножества
в виде
где Н - абелева подгруппа группы
- нильпотентные подгруппы группы G, нормализуемые Н. Если G - группа
невырожденных вещественных матриц m-го порядка, Н - подгруппа диагональных матриц, N(соответственно
) - подгруппа нижне (верхне)-треугольных матриц с единицами на главной диагонали,
- подмножество матриц из G, все главные миноры к-рых отличны от нуля, то разложение
наз. разложением Гаусса полной линейной группы и непосредственно связано с Гаусса методом решения систем линейных уравнений: если
где
- невырожденная матрица коэффициентов системы линейных уравнений
то приведение матрицы
методом Гаусса к треугольному виду
, можно осуществить умножением g0 слева на нижнетреугольную матрицу
Строгое определение разложения Гаусса требует введения следующих терминов. Пусть G- топо-логич. группа, Н - ее подгруппа,
- нильпотентные подгруппы в G, нормализуемые Н. Подгруппа Нназ. треугольным усечением группы, если а)
где
- коммутант группы
- связные разрешимые подгруппы группы G;б) множество
всюду плотно в G, и разложение
однозначно. Разложение
наз. треугольным разложением в G. Если Н - абелева группа, то это разложение наз. вполне треугольным разложением, или разложением Гаусса. В этом случае подгруппы
разрешимы.
Пусть
- неприводимое (непрерывное) представление группы
в конечномерном векторном пространстве
- подпространство всех векторов из V, неподвижных относительно
; тогда
инвариантно относительно Н, и представление
группы
в
неприводимо. Представление
определяет
однозначно с точностью до эквивалентности. Представление
содержится (как инвариантная часть) в представлении
группы
, индуцированном представлением
, подгруппы Вв классе
, где
- продолжение на Водноименного представления группы H, тривиальное на N. При этом пространство
одномерно. Если Н - абелева подгруппа, то
одномерно и
- характер группы Н. Известны следующие примеры треугольных разложений групп Ли. 1) Пусть G - редук-тивная связная комплексная группа Ли с картановской подалгеброй
- редуктивная связная подгруппа в G, содержащая
. Тогда подгруппа Нявляется треугольным усечением группы G.2) Пусть G - редуктивная связная линейная группа Ли; тогда группа G содержит треугольное усечение
, где А - од-носвязная абелева подгруппа в G (порождаемая некомпактными корнями в алгебре Ли группы G), M - централизатор Ав максимальной компактной подгруппе
. 3) В частности, всякая редуктивная связная комплексная группа Ли допускает Г. р.
, где Н - картановская подгруппа в группе G; Nсоответственно
- аналитич. одгруппа в G, алгебра Ли к-рой натянута на все корневые векторы
(соответственно
),
- корень относительно Н, т. е.
и
являются противоположными Бореля подгруппами. В примерах 1) - 3) подгруппы
од-носвязны,
открыто в G в топологии Зариского, а отображение
является изоморфизмом алгебраич. многообразий (и, в частности, гомеоморфизмом). Этот факт позволяет доказать, что алгебраич. многообразие G рационально.
Лит.:[1] Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1968. Д. П. Желобенко.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.