КОНЕЧНОМЕРНАЯ АССОЦИАТИВНАЯ АЛГЕБРА
- КОНЕЧНОМЕРНАЯ АССОЦИАТИВНАЯ АЛГЕБРА
- ассоциативное кольцо А, являющееся одновременно конечномерным векторным пространством над полем F, в к-ром выполняется следующее условие
для всех 
и 
Размерность 
пространства Анад полем Fназ. размерностью алгебры Анад F. Принято также говорить, что алгебра Аявляется n-мерной. Всякая n-мерная ассоциативная алгебра Анад полем Fимеет точное представление матрицами порядка n+1 над F, т. е. существует изоморфизм алгебры Ана нек-рую подалгебру алгебры всех квадратных матриц порядка 
над F. Если, кроме того, алгебра Асодержит единицу, то она имеет точное представление матрицами порядка пнад F.
Пусть е г, . .. , е п- некоторый базис векторного пространства Анад F(он наз. также базисом алгебры А)и 
Элементы 
поля Fназ. структурными константами алгебры Ав данном базисе. Они образуют тензор третьего ранга в пространстве А.
Основные теоремы о К. а. а. Радикал: Джекобсона К. а. а. нильпотентен и, если основное поле сепарабельно, отщепляется полупрямым слагаемым (см. Веддерберна- Мальцева теорема). Полупростая К. а. а. над полем разлагается в прямую сумму магричных алгебр над телами. Если основное поле Fалгебраически замкнуто, то полупростая К. а. а. распадается в прямую сумму матричных алгебр над F. Простые конечномерные алгебры исчерпываются полными матричными алгебрами над телами (теорема Веддерберна). В частности, К. а. а. без делителей нуля оказывается телом. Над полем действительных чисел К. а. а. с делением (т. е. тела) исчерпываются следующими примерами: поле действительных чисел, поле комплексных чисел, тело кватернионов (теорема Фробениуса).
Многие из упомянутых структурных свойств К. а. а. имеют место и в более широких классах нётеровых и артиновых колец (см., напр., Веддерберна- Артина. теорема).
Лит.:[1] Ван дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976; [2] Аlbert A. A., Structure of algebras, N. Y., 1939.
В. <Н. <Латышев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия.
И. М. Виноградов.
1977—1985.
Полезное
Смотреть что такое "КОНЕЧНОМЕРНАЯ АССОЦИАТИВНАЯ АЛГЕБРА" в других словарях:
Алгебра Хопфа — Алгебра Хопфа алгебра, являющаяся унитарной ассоциативной коалгеброй и, таким образом, биалгеброй c антигомоморфизмом специального вида. Названа в честь Х. Хопфа. Алгебры Хопфа встречаются в алгебраической топологии, где они возникли в… … Википедия
КЛИФФОРДА АЛГЕБРА — конечномерная ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом, впервые рассмотренная У. Клиффордом (W. Clifford) в 1876. Пусть К коммутативное кольцо с единицей, Е свободный K модуль, Q квадратичная форма на Е. К. а. квадратичной формы Q(или пары … Математическая энциклопедия
АЛГЕБРА С ДЕЛЕНИЕМ — алгебра Анад полем F, для любых элементов и bк рой уравнения разрешимы в А. Ассоциативная А. с д., рассматриваемая как кольцо, является телом, а ее центр С полем и Если то А. с д. Аназ. центральной А. с д. Конечномерные центральные ассоциативные… … Математическая энциклопедия
ЛИ ГРАДУИРОВАННАЯ АЛГЕБРА — алгебра Ли над полем К, градуированная при помощи нек рой абелевой группы А, т. е. разложенная в прямую сумму подпространств , таким образом, что Если А упорядоченная группа, то для каждой фильтрованной алгебры Ли ассоциированная с ней… … Математическая энциклопедия
ЙОРДАНОВА АЛГЕБРА — алгебра, в к рой справедливы тождества 4 Такие алгебры впервые возникли в работе П. Йордана [1], посвященной аксиоматизации основ квантовой механики (см. также [2]), а затем нашли применения в алгебре, анализе и геометрии. Пусть А ассоциативная… … Математическая энциклопедия
СЕПАРАБЕЛЬНАЯ АЛГЕБРА — конечномерная полупростая ассоциативная алгебра Анад полем k, остающаяся полупростой при любом расширении Kполя k(т. е. алгебра полупроста для любого поля ). Алгебра Асепарабельна тогда и только тогда, когда центры простых компонент этой алгебры… … Математическая энциклопедия
ЛИ АЛГЕБРА — лиева алгебра, унитарный k модуль Lнад коммутативным кольцом k с единицей, к рый снабжен билинейным отображением прямого произведения в L, обладающим следующими двумя свойствами: 1) [ х, х] = 0 (откуда вытекает антикоммутативность 2) ( х,[ у,… … Математическая энциклопедия
ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРОСТАЯ АЛГЕБРА — простая ассоциативная алгебра с единицей, являющаяся центральной алгеброй. Всякая конечномерная Ц … Математическая энциклопедия
ЛИ p-АЛГЕБРА — ограниченная алгебра Ли, алгебра Lнад полем kхарактеристики р>0 (или, более общо, над кольцом простой характеристики р>0), снабженная р отображением таким, что выполняются следующие соотношения: Здесь внутреннее дифференцирование алгебры L … Математическая энциклопедия
РАДИКАЛЫ — колец и алгебр понятие, впервые возникшее в классической структурной теории конечномерных алгебр в нач. 20 в. Под Р. первоначально понимался наибольший нильпотентный идеал конечномерной ассоциативной алгебры. Алгебры с нулевым Р. (называемые… … Математическая энциклопедия
