ИНДУЦИРОВАННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ


ИНДУЦИРОВАННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

- представление p локально компактной группы G, индуцированное представлением р ее замкнутой подгруппы Н, точнее, представление p группы Gв нек-ром пространстве Ефункций f на группе G, принимающих значения в пространстве Vпредставления р и удовлетворяющих условию f(hg)=r(h)f(g). для всех причем [p(g1)f](g) = f(gg1 )для всех g, И. п. я обычно обозначается Операция построения И. п. является простейшим и важнейшим приемом построения представлений более сложных групп, исходя из представлений более простых групп, и для широких классов групп полное описание неприводимых представлений может быть дано в терминах И. п. или их обобщений.

Если G- конечная группа, то индуцирующее представление р предполагается конечномерным, а в качестве пространства Vрассматривается пространство всех функций f на группе G, принимающих значения в Vи удовлетворяющих условию f(hg)=p(h)f(g). Представление где р - единичное представление единичной подгруппы {е}, есть правое регулярное представление группы G;представление эквивалентно представлению р. Представление эквивалентно представлению sв пространстве Wвсех функций на однородном пространстве со значениями в V, определенному формулой вида [s(g)f](x) = a(g, x) f(xg), причем функция аопределяется следующим образом: если s :- некоторое отображение, удовлетворяющее условию для всех то a(g, x)=p(h), где s(x)g=hs(xg )для всех Функция аявляется одномерным коциклом группы Gс коэффициентами в группе функций на Xсо значениями в обратимых операторах в V. Если rt эквивалентно представлению r2, то Ind r1 эквивалентно Ind r2; представление эквивалентно представлению Если К, И - подгруппы группы G, K М H, и r - представление группы К, то представление группы G, индуцированное представлением группы Н, эквивалентно представлению (теорема о сквозном индуцировании). Если p, r - представления группы Gи ее подгруппы Нсоответственно, то пространства сплетающих операторов Ноm (я,) и изоморфны, где p|H- сужение представления p на подгруппу Н(теорема двойственности Фробениуса); в частности, если я и р неприводимы, то я входит в Ur с той же кратностью, с к-рой р входит в p|H. Характер cp И. п. p=Ur группы Gопределяется формулой:

где cr -характер представления р группы Н, продолженный нулем на всю группу G, а d пробегает набор представителей правых смежных классов группы Gпо подгруппе Н. Пусть Н, К- подгруппы группы G, r - представление группы Н,. для всех gО G и pg- представление группы К, индуцированное представлением rg группы Gg, определяемым формулой pg(x)=p(gxg-1), x О Gg;. тогда представление pg однозначно определяется двойным классом HgK, содержащим элемент g, и сужение И. п. HUPG на подгруппу Кэквивалентно прямой сумме представлений pg, где сумма берется по множеству представителей всевозможных двойных классов HgK, g О G (теорема об ограничении И. п. на подгруппу). Эта теорема может быть применена, в частности, к разложению тензорного произведения И. п. Пространство операторов, сплетающих данные И. п., допускает явное описание. Представление p группы Gтогда и только тогда эквивалентно И. п. вида HUPG для нек-рых Ни р, когда существует такое отображение Рмножества подмножеств пространства HGв множество проекторов в пространстве Епредставления я, что 1) Р(ф)= 0, P(HG)=1;.2) если М, N МHG и то Р()=P{M)+P(N);.3) Р{)=P(M)P(N). для всех М, N МHG;.4) P(Mg)=p-1(g)P(M)p(g). для всех MМHG, g О G (такое отображение Рназ. системой импримитивности для представления л с базой И. п. конечной группы может быть непосредственно описано в терминах модулей над групповой алгеброй, а также может быть определено в категорных терминах. Конечная группа наз. мономиальной, если любое ее неприводимое представление индуцировано одномерным представлением нек-рой подгруппы. Всякая мономиальная группа разрешима; всякая нильпотентная группа мономиальна.

Определение И. п. локально компактной группы Gсущественно зависит от выбора пространства Е;напр., в качестве Ечасто рассматривается пространство всех непрерывных функций на G, удовлетворяющих условию f(hg) = p(h)f(g), или (если G- группа Ли) пространство всех дифференцируемых функций на G, удовлетворяющих тому же условию. С другой стороны, пусть р - непрерывное унитарное представление замкнутой подгруппы в гильбертовом пространстве V, пусть s- измеримое отображение локально компактного пространства в G, удовлетворяющее условию для всех пусть DG, DH- модули групп (см. Хаара мера) G И Нсоответственно и vs - такая G-квазиинвариантная мера на X, что

где s(x)g=hx, gs(xg )для всех хО Х, g ОG;пусть L2(G, Н,r) - гильбертово пространство измеримых вектор-функций Fна группе Gсо значениями в V, удовлетворяющих условию

для всех hО H, g ОGи таких, что интеграл

сходится; непрерывное унитарное представление p группы Gв L2(G, H, р), определенное формулой

для всех наз. унитарным индуцированным представлением локально компактной группы G. Большая часть результатов об И. п. конечных групп допускает обобщение на случай унитарных И. п. локально компактных групп, в том числе свойства представлений и связь И. п. с коциклами на группе G, теоремы о сквозном индуцировании и об ограничении И. п. на подгруппу,- формула для характера И. п., критерий индуцированности представления, свойства мономиальных групп п теорема двойственности Фробениуса допускают более или менее непосредственное обобщение на случай унитарных И. п. И. п. локально компактной группы Gсвязаны с представлениями нек-рых обобщенных групповых алгебр этой группы. Если G- группа Ли, то понятие И. п. группы Gдопускает различные обобщения, в том числе понятие голоморфно И. п., пространство к-рого Еявляется пространством функций на G, аналитических по нек-рым переменным, и понятие представления в когомологиях векторных расслоений над однородными пространствами группы G(представления в нулевых когомологиях суть И. п.). Понятие И. п. и его обобщения играют плодотворную роль в теории представлений; в частности, в терминах унитарных И. п. описываются представления расширений групп; основная серия непрерывных унитарных представлений связной действительной полупростой группы Ли Gобразована И. п., а именно- индуцированными конечномерными унитарными представлениями борелевской подгруппы группы G;дискретная серия представлений линейной действительной полупростой группы Ли реализуется в когомологиях нек-рых векторных расслоений над однородными пространствами этой группы; неприводимые непрерывные унитарные представления разрешимых связных групп Ли типа I описаны в терминах голоморфно И. п. [7]. Операция И. п. допускает обобщение на случай неунитарных представлений локально компактных групп, а также топологич. групп, не являющихся локально компактными. Изучен [6] аналог И. п. для С*-алгебр.

Лит.:[1] Кириллов А. А., Элементы теории представлений, М., 1972; [2] Наймарк М. А., Теория представлений групп, М., 1976; [3] Серр Ж.-П., Линейные представления конечных групп, пер. с франц., М., 1970; [4] Макки Г. Д ж., "Математика", 1962, т. 6, № 6, с. 57-103; [5] Schmid W., "Ann. of Math.", 1976, v. 103, p. 375-94; [6] Rieffel M., "Advances in Math.", 1974, v. 13, №2, p. 176-257; [7] Auslander L., Konstant В., "Invent, math.", 1971, v. 14, № 4, p. 255-354; [8] Вершик А. М., Гельфанд И. М., Граев М. И., "Успехи матем. наук", 1975, т. 30, в. 6, с. 3-50; [9] Менский М. Б., Метод индуцированных представлений. Пространство - время и концепция частиц, М., 1976.

А. И. Штерн.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ИНДУЦИРОВАННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ" в других словарях:

  • ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ — изображение элементов группы матрицами или преобразованиями линейного пространства, при к ром сохраняется исходная групповая структура. Поскольку достаточно хорошо изучены матричные группы, при исследовании произвольной группы стараются… …   Физическая энциклопедия

  • Представление группы — У этого термина существуют и другие значения, см. Представление. Не следует путать с заданием группы. Представление группы (точнее, линейное представление группы)  гомоморфизм заданной группы в группу невырожденных линейных преобразований… …   Википедия

  • ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИММЕТРИЧЕСКОЙ ГРУППЫ — линейное представление группы Sm над каким либо полем К. Если char K=0, то все конечномерные П. с. г. вполне приводимы и определены над Q (иначе говоря, все неприводимые конечномерные представления над Q абсолютно неприводимы). Неприводимые… …   Математическая энциклопедия

  • МОНОМИАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — конечной группы G такое представление группы Gв конечномерном векторном пространстве V, что в нек ром базисе этого пространства матрица оператора для любого элемента имеет точно один ненулевой элемент в каждой строке и в каждом, столбце. Иногда М …   Математическая энциклопедия

  • КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — гомоморфизм конечной группы Gв группу обратимых линейных операторов в векторном пространстве над полем К. Теория К …   Математическая энциклопедия

  • ОРБИТ МЕТОД — метод изучения унитарных представлений групп Ли. С помощью О. м. была построена теория унитарных представлений нильпотентных групп Ли, а также указана возможность его применения к другим группам [1]. О. м. основан на следующем экспериментальном… …   Математическая энциклопедия

  • КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКАЯ ГРУППА — дискретная группа движений n мерного евклидова пространства Е п, имеющая ограниченную фундаментальную область. Две К. г. считаются эквивалентными, если они сопряжены в группе аффинных преобразований пространства Е п. Происхождение теории К. г.… …   Математическая энциклопедия

  • ИМПРИМИТИВНАЯ ГРУППА — группа Gвзаимно однозначных отображений на себя ( подстановок )нек рого множества S, для к рой существует разбиение множества Sв объединение непересекающихся подмножеств S1, . . ., Sm, обладающее следующими свойствами: число элементов хотя бы в… …   Математическая энциклопедия

  • КОС ТЕОРИЯ — раздел топологии и алгебры, изучающий косы и группы, составленные из их классов эквивалентности, и различные обобщения этих групп [1]. Коса из пнитей объект, состоящий из двух параллельных плоскостей Р 0 и Р 1 в трехмерном пространстве R3,… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИ ПОЛУПРОСТАЯ АЛГЕБРА — алгебра Ли, не имеющая ненулевых разрешимых идеалов (см. Ли разрешимая алгебра). В дальнейшем рассматриваются конечномерные Ли п. а. над полем kхарактеристики 0 (о Лн п. а. над полем ненулевой характеристики см. Ли алгебра). Полупростота… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.