ИНДУЦИРОВАННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

- представление p локально компактной группы G, индуцированное представлением р ее замкнутой подгруппы Н, точнее, представление p группы Gв нек-ром пространстве Ефункций f на группе G, принимающих значения в пространстве Vпредставления р и удовлетворяющих условию f(hg)=r(h)f(g). для всех причем [p(g₁)f](g) = f(gg₁ )для всех g, И. п. я обычно обозначается Операция построения И. п. является простейшим и важнейшим приемом построения представлений более сложных групп, исходя из представлений более простых групп, и для широких классов групп полное описание неприводимых представлений может быть дано в терминах И. п. или их обобщений.

Если G- конечная группа, то индуцирующее представление р предполагается конечномерным, а в качестве пространства Vрассматривается пространство всех функций f на группе G, принимающих значения в Vи удовлетворяющих условию f(hg)=p(h)f(g). Представление где р - единичное представление единичной подгруппы {е}, есть правое регулярное представление группы G;представление эквивалентно представлению р. Представление эквивалентно представлению sв пространстве Wвсех функций на однородном пространстве со значениями в V, определенному формулой вида [s(g)f](x) = a(g, x) f(xg), причем функция аопределяется следующим образом: если s :- некоторое отображение, удовлетворяющее условию для всех то a(g, x)=p(h), где s(x)g=hs(xg )для всех Функция аявляется одномерным коциклом группы Gс коэффициентами в группе функций на Xсо значениями в обратимых операторах в V. Если r_t эквивалентно представлению r₂, то Ind r₁ эквивалентно Ind r₂; представление эквивалентно представлению Если К, И - подгруппы группы G, K М H, и r - представление группы К, то представление группы G, индуцированное представлением группы Н, эквивалентно представлению (теорема о сквозном индуцировании). Если p, r - представления группы Gи ее подгруппы Нсоответственно, то пространства сплетающих операторов Ноm (я,) и изоморфны, где p|_H- сужение представления p на подгруппу Н(теорема двойственности Фробениуса); в частности, если я и р неприводимы, то я входит в U^r с той же кратностью, с к-рой р входит в p|_H. Характер c_p И. п. p=U^r группы Gопределяется формулой:

где c_r -характер представления р группы Н, продолженный нулем на всю группу G, а d пробегает набор представителей правых смежных классов группы Gпо подгруппе Н. Пусть Н, К- подгруппы группы G, r - представление группы Н,. для всех gО G и p^g- представление группы К, индуцированное представлением r^g группы G_g, определяемым формулой pg(x)=p(gxg^-1), x О G_g;. тогда представление p^g однозначно определяется двойным классом HgK, содержащим элемент g, и сужение И. п. _HU^P_G на подгруппу Кэквивалентно прямой сумме представлений p^g, где сумма берется по множеству представителей всевозможных двойных классов HgK, g О G (теорема об ограничении И. п. на подгруппу). Эта теорема может быть применена, в частности, к разложению тензорного произведения И. п. Пространство операторов, сплетающих данные И. п., допускает явное описание. Представление p группы Gтогда и только тогда эквивалентно И. п. вида _HU^P_G для нек-рых Ни р, когда существует такое отображение Рмножества подмножеств пространства HGв множество проекторов в пространстве Епредставления я, что 1) Р(ф)= 0, P(HG)=1;.2) если М, N МHG и то Р()=P{M)+P(N);.3) Р{)=P(M)P(N). для всех М, N МHG;.4) P(Mg)=p^-1(g)P(M)p(g). для всех MМHG, g О G (такое отображение Рназ. системой импримитивности для представления л с базой И. п. конечной группы может быть непосредственно описано в терминах модулей над групповой алгеброй, а также может быть определено в категорных терминах. Конечная группа наз. мономиальной, если любое ее неприводимое представление индуцировано одномерным представлением нек-рой подгруппы. Всякая мономиальная группа разрешима; всякая нильпотентная группа мономиальна.

Определение И. п. локально компактной группы Gсущественно зависит от выбора пространства Е;напр., в качестве Ечасто рассматривается пространство всех непрерывных функций на G, удовлетворяющих условию f(hg) = p(h)f(g), или (если G- группа Ли) пространство всех дифференцируемых функций на G, удовлетворяющих тому же условию. С другой стороны, пусть р - непрерывное унитарное представление замкнутой подгруппы в гильбертовом пространстве V, пусть s- измеримое отображение локально компактного пространства в G, удовлетворяющее условию для всех пусть D_G, D_H- модули групп (см. Хаара мера) G И Нсоответственно и v_s - такая G-квазиинвариантная мера на X, что

где s(x)g=h^{x, g}s(xg )для всех хО Х, g ОG;пусть L²(G, Н,r) - гильбертово пространство измеримых вектор-функций Fна группе Gсо значениями в V, удовлетворяющих условию

для всех hО H, g ОGи таких, что интеграл

сходится; непрерывное унитарное представление p группы Gв L²(G, H, р), определенное формулой

для всех наз. унитарным индуцированным представлением локально компактной группы G. Большая часть результатов об И. п. конечных групп допускает обобщение на случай унитарных И. п. локально компактных групп, в том числе свойства представлений и связь И. п. с коциклами на группе G, теоремы о сквозном индуцировании и об ограничении И. п. на подгруппу,- формула для характера И. п., критерий индуцированности представления, свойства мономиальных групп п теорема двойственности Фробениуса допускают более или менее непосредственное обобщение на случай унитарных И. п. И. п. локально компактной группы Gсвязаны с представлениями нек-рых обобщенных групповых алгебр этой группы. Если G- группа Ли, то понятие И. п. группы Gдопускает различные обобщения, в том числе понятие голоморфно И. п., пространство к-рого Еявляется пространством функций на G, аналитических по нек-рым переменным, и понятие представления в когомологиях векторных расслоений над однородными пространствами группы G(представления в нулевых когомологиях суть И. п.). Понятие И. п. и его обобщения играют плодотворную роль в теории представлений; в частности, в терминах унитарных И. п. описываются представления расширений групп; основная серия непрерывных унитарных представлений связной действительной полупростой группы Ли Gобразована И. п., а именно- индуцированными конечномерными унитарными представлениями борелевской подгруппы группы G;дискретная серия представлений линейной действительной полупростой группы Ли реализуется в когомологиях нек-рых векторных расслоений над однородными пространствами этой группы; неприводимые непрерывные унитарные представления разрешимых связных групп Ли типа I описаны в терминах голоморфно И. п. [7]. Операция И. п. допускает обобщение на случай неунитарных представлений локально компактных групп, а также топологич. групп, не являющихся локально компактными. Изучен [6] аналог И. п. для С*-алгебр.

Лит.:[1] Кириллов А. А., Элементы теории представлений, М., 1972; [2] Наймарк М. А., Теория представлений групп, М., 1976; [3] Серр Ж.-П., Линейные представления конечных групп, пер. с франц., М., 1970; [4] Макки Г. Д ж., "Математика", 1962, т. 6, № 6, с. 57-103; [5] Schmid W., "Ann. of Math.", 1976, v. 103, p. 375-94; [6] Rieffel M., "Advances in Math.", 1974, v. 13, №2, p. 176-257; [7] Auslander L., Konstant В., "Invent, math.", 1971, v. 14, № 4, p. 255-354; [8] Вершик А. М., Гельфанд И. М., Граев М. И., "Успехи матем. наук", 1975, т. 30, в. 6, с. 3-50; [9] Менский М. Б., Метод индуцированных представлений. Пространство - время и концепция частиц, М., 1976.

А. И. Штерн.