КОНЕЧНАЯ ГРУППА

- группа с конечным числом элементов. Это число наз. порядком группы. Исторически К. г. послужили исходным материалом для формирования многих понятий абстрактной теории групп.

Обычно говорят, что целью теории К. г. является описание, с точностью до изоморфизма, групп любого порядка. Это верно лишь отчасти. Наивный подход, основанный на полном переборе всех групп, заведомо обречен на неудачу. Напр., составление списка всех неизоморфных групп сравнительно небольшого порядка 1024 явилось бы трудным испытанием для лучших современных ЭВМ. Вообще, перебор конечных р-групп (групп порядка р, где р- простое число) - "дикая", или плохо поставленная задача. Напротив, существуют некие экстремальные классы групп, играющие принципиальную роль в теории, для к-рых проблема классификации (перечисления с точностью до изоморфизма) либо решена, либо представляется вполне осмысленной.

Так, для абелевых К. г. имеется законченная теория (см. А белееа группа). Отдельные типы конечных р-групп (регулярные, свободные экспоненты р, максимального класса, заданные образующими и минимально возможным числом соотношений) также допускают качественное описание. Простые группы (т. е. группы с тривиальными нормальными подгруппами), являющиеся "строительными блоками" для всех К. г., несмотря на настойчивые попытки пока не удается описать. Существует гипотеза, что должно существовать не более двух (чаще всего - нуль) неизоморфных простых групп любого фиксированного порядка п. Это проверено для При конкретном анализе простых групп оказалось успешным применение ЭВМ, хотя, разумеется, их роль - чисто вспомогательная. Гораздо более значительными являются теоретические результаты о простых группах (см. Простая конечная группа). К настоящему времени (1978) известно несколько бесконечных серий простых групп ( Шевалле группы )и около трех десятков изолированных примеров ( спорадические простые группы). Описание конечных групп целочисленных матриц - еще один пример важной классификационной задачи, решенной лишь для небольших размеров матриц.

После периода становления в теории К. г., связанного с именами О. Коши (A. Cauchy), Ж. Лагранжа (J. Lagrange), К. Гаусса (С. Gauss), H. Абеля (N. Abel )и, в первую очередь, Э. Галуа (Е. Galois), К. г. изучались почти исключительно как группы перестановок (см. неудачно укоренившийся термин подстановок группа), причем эта точка зрения остается плодотворной и в наши дни. Напр., если абстрактная К. г. Gдопускает реализацию (вложение в симметрия, группу S_m )в виде кратно-транзитивной группы перестановок, то в ряде случаев G определяется однозначно с точностью до изоморфизма. Классификационные результаты, относящиеся к простым 2-транзитивным группам перестановок, составляют богатый раздел теории К. г., начало к-рому было заложено более ста лет тому назад К. Жорданом (С. Jordan). Вычислительные методы в теории групп перестановок, развившиеся за последние годы, отчасти вызваны к жизни запросами комбинаторики, теории графов, теории кодирования, необходимостью проверки различных гипотез.

В начале 20 в. трудами Г. фробеннуса (G. Frobenius), У. Бёрпсайда (W. Burnside), И. Шура (I. Schur) и др. была развита теория линейных представлений К. г. (см. Конечной группы представление), давшая мощный инструмент исследования абстрактных групп и послужившая прототипом для аналогичной теории представлений групп Ли, а затем и других алгебраич. систем. Выражение свойств групп и их представлений на языке теории характеров - одно из проявлений взаимных связей между различными разделами алгебры. Интенсивно изучаются представления К. г. над коммутативными кольцами и над полями ненулевой характеристики (Р. Брауэр (R. Brauer) и др., см. [2]). Выделившаяся в результате этих исследований область конечных линейных групп изобилует многими глубокими результатами.

Почти очевидное соображение, что свойства конечной группы Gдолжны быть в какой-то мере арифметическими, зависящими от канонического разложения |G|=ее порядка, нашло свое воплощение в Силова теоремах о существовании и сопряженности подгрупп порядка Если G = nm, где пи т- произвольные взаимно простые натуральные числа, тс подгруппа порядка га, называемая холловской, существует, вообще говоря, не всегда, но для обширного класса разрешимых групп холловские подгруппы полностью наследуют свойства силовских. Открытая У. Бёрнсайдом разрешимость групп порядка p^aq^b(p, q- простые числа) - типичный пример арифметич. свойства. Разрешимость групп нечетного порядка, установленная много лет спустя Дж. Томпсоном и У. Фейтом (J. Thompson, W. Feit, см. Бёрнсайда, проблема1),- достижение, к-рое поставило теорию К. г. на принципиально новую основу. Существование инволюций (элементов порядка два) в неразрешимых группах - иная формулировка теоремы Томпсона - Фейта и выражение свойств группы в терминах централизаторов инволюций - одно из главных направлений исследований в области К. г. за последние два десятилетия.

Длительное время изучаются свойства групп, представимых в виде произведения подгрупп специальных типов. Если, напр., G=AB, где Аи В - нильпотентные подгруппы, то G- разрешимая группа. Произвольная 2-транзитивная группа преобразований допускает факторизацию G=ABA, где А-стабилизатор точки, а В- подгруппа порядка 2. Остается недоказанной пока (1978) гипотеза С. А. Чунихина о непростоте К. г., представимой в виде произведения централизаторов двух неединичных элементов.

Видное место занимает изучение К. г. с выделенным действием на них групп автоморфизмов. Согласно не доказанной в полной общности гипотезе, К. г. Gс автоморфизмом j, оставляющим на месте лишь единичный элемент из G, должна быть разрешимой. Если G- простого порядка, то Gнильпотентна, и уже отсюда следует, что К. г., обладающая нильпотентной максимальной подгруппой нечетного порядка, разрешима. Как видно, критерии разрешимости К, г. могут быть самой различной природы.

Расширения К. г. изучаются средствами теории когомологий (см. Когомологии групп), имеющей самостоятельное значение.

Лит.:[1] Клейн Ф., Лекции о развитии математики в XIX столетии, пер. с нем., ч. 1, М.-Л., 1937; [2] Кэртис Ч., Райнер И., Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, пер. с англ., М., 1969; [3] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И., Основы теории групп, 2 изд., М., 1977; [4] Кострикин А. И., в кн.: Итоги науки. Алгебра. 1964, М., 19 66, с. 1-46; [5] Чунихин С. А., Шеметков Л. А., в кн.: Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1969, М., 1971, с. 7-70; [6] Мазуров В. Д., в кн.: Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 14, М., 1976, с. 5-56; [7] Speiser A., Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, 4 Aufl., Basel, 1956; [8] Wielandt H., Finite permutations groups, N. Y.- L., 1964; [9] Huppert B., Endliche Gruppen, В.-Hdlb.- N. Y.,' 1967; [10] Gоrеlistein D., Finite groups, N. Y., 1968; [11] Isаасs I. M., Character theory of finite groups, N. Y., 1976.

А. И. Кострикин.