S-ДВОЙСТВЕННОСТЬ


S-ДВОЙСТВЕННОСТЬ

стационарная двойственность, Спеньера двойственность, - двойственность в теории гомотопии, имеющая место (при отсутствии ограничений на размерность пространств) для аналогов обычных гомотопич. и когомотопич. групп в надстроечной категории - для S-гомотопич. и S-когомотопнч. групп или стационарных групп гомотошш и когомотопий, образующих экстраординарные (обобщенные) теории гомологии и когомологий. Надстроечной категорией, или S-к атегорией, наз. категория, объектами к-рой являются топологич. пространства X, а морфизмами - классы {f} S-гомотопных отображений f р -кратной надстройки SpX1 в SPX2, причем f и g: считаются 5-гомотопными, если существует такое что надстройки гомотопны в обычном смысле.

Множество х, X2} таких классов, наз. S-oтображениями, составляет абелеву группу (относительно так яаз. колейного сложения, см. [1], [2], [4), [5]). Группа г, Х 2 )есть предел прямого спектра множеств [SkX1, SkX2]обычных гомотогшч. классов с надстроечными отображениями в качестве проекций, являющегося при достаточно больших кспектром групп с гомоморфизмами. Имеет место изоморфизм S:1, Х 2}{SX1, SX2}, при к-ром соответствующие друг другу элементы представляются одним и тем же отображением Полиэдром, п- двойственным к полиэдру Xсферы Sn, наз. произвольный полиэдр D п Х в Sn, являющийся S-це формационным ретрактом дополнения т. е. если морфизм, соответствующий вложению есть S-эквивалентность. Полиэдр DnX существует для каждого X, и можно рассматривать Xкак

Для любых полиэдров Х 1, Х 2 и любых n-двойственных им полиэдров DnX1 и DnX2 существует единственное отображение

удовлетворяющее следующим условиям:

а) Оно является инволютивным контравариантным функториальным изоморфизмом, т. е. Dn есть такой гомоморфизм,что если то если то если 0 - элемент из {X1 , Х 2} или из {DnX2, DnX1}, то

б) Оно удовлетворяет соотношениям где SDnXi и DnXi рассматриваются как полиэдры, (n+1)-двойственные к полиэдрам X;и, соответственно, SXi, i=i,2; это значит, что оно не зависит от n и стационарно относительно надстройки.

в) Оно удовлетворяет равенству где и - гомоморфизмы указанных групп гомологии и когомологий, индуцированные S-отображениями и Dnq, a есть изоморфизм, к-рый получается из изоморфизма Александера двойственности заменой множества его S-деформационным ретрактом DnXi.

Построение Dn опирается на представление данного отображения как композиции вложения и S-деформационной ретракции.

S- гомотопической группой е р (Х)пространства Xназ. группа {Sp, X}, а S-к огомотопической группой S Р (Х)пространства X- группа {X, SP}. Как и в обычной теории гомотошш, определяются гомоморфизмы

Рассмотрение сфер Sp и Sn-p-1 как n-двойственных приводит к изоморфизму

и к коммутативной диаграмме

Таким образом, изоморфизм Dn связывает S-гомотопич. и S-когомотопич. группы подобно тому, как изоморфизм двойственности Александера Dan связывает группы гомологии и когомологии. Какая-либо двойственность в S-категории приводит к двойственности в случае обычных гомотопич. классов, если на пространство наложить требования, из к-рых следует наличие взаимно однозначного соответствия множества указанных классов с множеством S-гомотопических классов.

Примерами двойственных предложений в этой теории являются теорема Гуревича об изоморфизме и теорема классификации Хопфа. Dn переводит одну из этих теорем в другую, что означает замену S-гомотопич. групп S-когомотопическими, групп гомологии - группами когомологии, отображения jp- отображениями jn-p-1, наименьшей размерности с нетривиальной гомологич. группой - наивысшей размерностью с нетривиальной группой когомологии, и наоборот. В обычной теории гомотогши для определения n-когомотопич. группы требуется, чтобы размерность пространства не превышала 2n-2 (или, более общо, чтобы пространство было (2n-1)-косвязным, n>1), что нарушает полную общность двойственности.

Теория обобщается в различных направлениях: напр., рассматриваются пространства, имеющие S-гомотопический тип полиэдров, относительный случай, теория с носителями и др. (см. [3], [5], [6], [7]). Она послужила одним из источников стационарной гомотопической теории [8].

Лит.:[1] Спаньер Э. Г., "Математика", 1959, т. 3, № 1, с. 17-25; [2] Spanier E. H., Whitehead J. Н. С, "Mathematical 1955, v. 2, №3, p. 56-80; [3] их же, "Ann. Math.", 1958, v. 67, №2, p. 203 - 38; [4] Barratt M. G., "Proc. Lond. Math. Soc", 1955, v. 5, p. 71 - 106, 285 - 329; [5] Сп. <чньер Э. Г., Уайтхед Дж. Г., "Математика", 1959, т. 3, № 1, с. 27 - 56; [6] Экман Б., Хилтон П., там же, 1960, т. 4, № 3, с. 3-27; [7] Спаньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971; [8] Уайтхед Дж., Новейшие достижения в теории гомотопий, пер. с англ., М., 1974.

Г. С. Чогошвили.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "S-ДВОЙСТВЕННОСТЬ" в других словарях:

  • Двойственность Колмогорова — Двойственность Колмогорова  двойственность в алгебраической топологии, состоящая в двух изоморфизмах: пусть есть замкнутое множество хаусдорфова локально компактного пространства . Двойственность Колмогорова для групп гомологий даёт… …   Википедия

  • двойственность — дуализм; противоречивость, разноречивость; нелогичность, двуличность, двоедушие, двоякость, фальшивость, непоследовательность, лживость, лицемерие, нечеткость, двуличие, тартюфизм, фарисейство, дуалистичность, ханжество, ипокритство, двоемыслие,… …   Словарь синонимов

  • ДВОЙСТВЕННОСТЬ — ДВОЙСТВЕННОСТЬ, двойственности, мн. нет, жен. (книжн.). отвлеч. сущ. к двойственный. Двойственность в характере. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 …   Толковый словарь Ушакова

  • двойственность — ДВОЙСТВЕННЫЙ, ая, ое; вен, венна. Склоняющийся и в одну и в другую сторону; противоречивый. Двойственное решение. Двойственное отношение к чему н. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 …   Толковый словарь Ожегова

  • Двойственность — Принцип, формулируемый в некоторых разделах математики и заключающийся в том, что каждому верному утверждению этого раздела отвечает двойственное утверждение, которое может быть получено из первого путём замены входящих в него понятий на другие,… …   Википедия

  • ДВОЙСТВЕННОСТЬ — (duality) Возможность формулировки экономических задач в альтернативных наборах переменных. Например, в линейном программировании (linear programming) в качестве задачи может быть поставлена максимизация стоимости выпуска в условиях… …   Экономический словарь

  • Двойственность в линейном программировании — [duality in linear programming] принцип, заключающийся в том, что для каждой задачи линейного программирования путем замены некоторых ее элементов на двойственные можно сформулировать двойственную задачу (см.) Связь между прямой и двойственной… …   Экономико-математический словарь

  • ДВОЙСТВЕННОСТЬ ПСИХИЧЕСКАЯ — ДВОЙСТВЕННОСТЬ ПСИХИЧЕСКАЯ, явление разделения личности на два, часто противопоставляемых друг другу комплекса, наблюдается при самых различных пси хопатологич. состояниях. Уже в пределах нормы, при попытках самосозерцания, при размышлениях над… …   Большая медицинская энциклопедия

  • двойственность — см. амбивалентность. Словарь практического психолога. М.: АСТ, Харвест. С. Ю. Головин. 1998 …   Большая психологическая энциклопедия

  • двойственность — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN duality …   Справочник технического переводчика

  • двойственность в линейном программировании — Принцип, заключающийся в том, что для каждой задачи линейного программирования путем замены некоторых ее элементов на двойственные можно сформулировать двойственную задачу. Связь между прямой и двойственной задачами устанавливается двумя… …   Справочник технического переводчика

Книги

Другие книги по запросу «S-ДВОЙСТВЕННОСТЬ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.