ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА

раздел алгебры, основным объектом изучения к-рого являются производные функторы на различных категориях алгебраич. объектов (модулей над данным кольцом, пучков и т. д.).

Одним из истоков Г. а. явилась теория гомологии топологич. пространств, в к-рой каждому топологич. пространству X сопоставляется последовательность абеле-вых групп (групп гомологии), а непрерывному отображению пространств - набор гомоморфизмов групп гомологии. Каждый га-мерный сингулярный симплекс Ттопологич. пространства Xимеет границу, состоящую из сингулярных симплексов размерности п-1. Если - свободная абелева группа, порожденная всеми этими n-мерными симплексами, то функция , к-рая сопоставляет каждому Тальтернированную сумму его граничных симплексов, определяет гомоморфизм так что причем непрерывное отображение пространств индуцирует гомоморфизм соответствующих им комплексов. Некоторые свойства пространства Xили отображения могут быть найдены по свойствам группы гомологии этого комплекса или соответствующих гомоморфизмов этих групп гомологии, что в ряде случаев позволяет свести изучение топологич. объектов к изучению нек-рых алгебраич. объектов, подобно тому, как это делается в аналитич. еометрии (но с той разницей, что переход от геометрии к алгебре в теории гомологии необратим).

В свою очередь, в алгебре в связи с изучением расширений групп фактически рассматривались первая и вторая группы гомологии и когомологий. Значительный подготовительный материал был разработан в теории ассоциативных алгебр, алгебр Ли, теории конечномерных алгебр, теории колец, теории квадратичных форм.

В процессе изучения групп гомологии сложился прежде всего язык Г. а. Появились обозначения отображений с помощью стрелок и коммутативные диаграммы (если в графе отображений два пути, имеющие общие начало и конец, приводят к одному и тому же результату, то такую диаграмму наз. коммутативной). Часто встречались последовательности гомоморфизмов, в к-рых ядро исходящего гомоморфизма совпадало с образом входящего, такие последовательности назвали точными. Стало обычаем задавать математич. объекты одновременно с их отображениями, а наиболее предпочтительными считались соответствия между объектами, сохраняющие отображения, названные функторами. Основные достоинства этого языка - информативность, естественность и наглядность, быстро получили признание. Напр., в [5] язык Г. а. был использован для аксиоматич. изложения оснований алгебраич. топологии. В настоящее время язык Г. а. присутствует во многих работах, даже не использующих ее методов.

К середине 40-х гг. 20 в. Г. а. выделяется в самостоятельную область алгебры. Основная сфера применения Г. а.- категория модулей над кольцом. Большинство результатов, известных для модулей, переносится на абелевы категории с нек-рыми дополнительными ограничениями (это объясняется тем, что такие категории вкладываются в категорию модулей). Наиболее содержательное расширение области применения Г. а. было осуществлено в [4], где Г. а. была перенесена на произвольные абелевы категории с достаточным запасом инъективных объектов и стала приложимой к арифметической алгебраич. геометрии и теории функций многих переменных (см. Гротендика категория).

Основные функторы Г. а.- Ноm (A, В).(группа гомоморфизмов модуля Ав модуль В).и тензорное произведение модулей . Основа теории - изучение производных функторов, к-рые строятся, напр., следующим образом. Произвольный модуль Аможет быть представлен как фактормодуль свободного модуля F₀, затем рассматривается такое же представление F₁ для ядра предыдущего представления и т. д. В результате возникает точная последовательность

Последовательность

где все модули - проективны, наз. проективной резольвентой модуля А. Применение к ней ковариантного аддитивного функтора Тдает комплекс, группы гомологии к-рого наз. левыми производными функтора Тн обозначаются . Двойственно (для контравариантного функтора) или, используя инъективные модули и инъективные резольвенты (для ковариантного функтора), строятся правые производные функторы . Производные функторы измеряют в нек-ром смысле отклонение функтора от точности. Они не зависят от произвола построения резольвенты. Каждой точной последовательности

соответствуют две бесконечные точные последовательности производных функторов:

Для производных функторов основных функторов приняты следующие обозначения:

Оба эти функтора являются функторами двух аргументов Аи В, поэтому изложенная конструкция построения производного функтора к ним непосредственно неприменима. В данном случае можно фиксировать один из аргументов и строить резольвенту для другого или, взяв резольвенты для обоих аргументов, можно построить нек-рый двойной комплекс. Все эти построения приводят к одному и тому же результату. Группа изоморфна группе расширений модуля Вс помощью модуля А(и в этом виде давно изучалась). Установление новых связей значительно расширило и продвинуло теорию расширений модулей. Группа сопоставляет каждой группе Аее периодич. часть. Обобщение этого наблюдения привело к общей теории кручения.

В общую схему производных функторов укладывается теория гомологии алгебраич. систем. Напр., пусть - групповое кольцо мультипликативной группы Gнад кольцом целых чисел, А - левый, а В - правый -модули. Изучение групп

где рассматривается как тривиальный левый -модуль, составляет теорию гомологии и когомологий групп. Пусть - алгебра Ли над полем - ее универсальная обертывающая алгебра, Аесть -модуль. Изучение групп

где kрассматривается как тривиальный -модуль, составляет теорию когомологий алгебр Ли. Аналогично определяются подходящие группы когомологий и гомологии моноидов, абелевых групп, алгебр, градуированных алгебр, колец и т. д. Руководящей идеей в каждом случае служит то, что вторая группа когомологий представляет группу расширений для рассматриваемого типа алгебраич. систем.

В свою очередь, гомологии алгебраич. систем являются предметом изучения относительной гомологической алгебры.

В конкретных случаях вычисление производных функторов обычно достигается с помощью удачно построенной резольвенты. Иногда резольвента оказывается конечной (напр., длина резольвенты произвольной абе-левой группы не превосходит 1). Существует давний и вполне оправданный интерес к длине самой короткой резольвенты (эта длина наз. гомологической размерностью). Первый значительный результат в этом направлении - Гильберта теорема о сизигиях (конец 19 в.). Теория гомологич. размерности - одна из активно развивающихся ветвей Г. а. Переход от модулей с различными ограничениями конечности к общему случаю часто осуществляется с помощью функторов индуктивных пределов и проективных пределов . Напр., всякая группа является индуктивным пределом своих конечно порожденных подгрупп. Всякая компактная вполне несвязная группа представима в виде проективного предела своих конечных факторгрупп. Интерес к этим группам вызван их связями с теорией Галуа. Производные этих функторов применяются в теории гомологич. размерности.

Изучаются производные функторы для неаддитивных функторов (напр., функтора, сопоставляющего абелевой группе ее групповое кольцо или симметрическую алгебру).

К основным средствам вычисления Г. а., кроме уже отмеченных резольвент, следует отнести спектральные последовательности и гомологические умножения. Спектральные последовательности, являясь наиболей мощным аппаратом исследования производных функторов, аппроксимируют группы гомологии группы группами гомологии ее подгруппы и факторгруппы. Гомологич. умножения изучают гомоморфизмы типа

комбинирующие между собой производные функторы. Методы Г. а. широко используются в настоящее время в самых различных разделах математики - в функциональном анализе, теории функций комплексного переменного, дифференциальных уравнениях и др. Без Г. а. немыслимы такие разделы алгебры, как алгебраич. К- теория, алгебраич. геометрия, алгебраич. теория чисел.

Лит.: [1] Картан А., Эйленберг С., Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [2] Маклейн С., Гомология, пер. с англ., М., 1966; [3] Басе X., Алгебраическая .К-теория, пер. с англ., М., 1973; [4] Гротендик А., О некоторых вопросах гомологической алгебры, пер. с франц., М., 1961; [5] Стинрод Н., Эйленберг С., Основания алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1958; [6] Итоги науки. Сер. Математика. Алгебра. 1964, М., 1966, с. 203-36; [7] Steenrod N. Е., Reviews of papers in algebraic and differential topology, topological and homological algebra, pt. 2, Princeton, p. 1174-364. В. Е. Говоров, А. В. Михалев.