- ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
- гомологическая алгебра, ассоциированная с парой абелевых категорий
и фиксированным функтором
. Функтор
предполагается аддитивным, точным и полным. Короткая точная после довательность объектов категории
наз. допустимой, если точная последовательность
расщепляется в категории
. Посредством класса
допустимых точных последовательностей определяется класс
-проективных (соответственно
-инъективных) объектов как класс таких объектов Р(соответственно Q), для к-рых функтор
(соответственно
) точен на допустимых коротких точных последовательностях.
Любом проективный объект Ркатегории
является
-проективным, это не означает, однако, что и категории
достаточно много относительно проективных объектов (т. е. что для любого объекта Аиз
существует допустимый эпиморфизм
нск-рого
- проективного объекта категории
). Если в категории
достаточно много
-проективных или
- инъективных объектов, то обычные конструкции гомологлч. алгебры позволяют строить в этой категории производные функторы, наз. относительными производными функторами.
П р и м е р ы. Пусть
- категория Д-модулей над ассоциативным кольцом R с единицей,
- категория множеств,
- функтор, "забывающий" структуру модуля. В этом случае все точные последовательности допустимы, и в результате получается "абсолютная" (т. е. обычная) гомологич. алгебра.
Если G - группа, то каждый G-модуль является, в частности, абелевой группой. Если Нявляется алгеброй над коммутативным кольцом k, то каждый R-модуль, является k-модулем. Если Rи S - кольца и
, то каждый R-модуль является S-модулем. Во всех этих случаях имеется функтор из одной абелевой категории в другую, определяющий относительные производные функторы.
Лит.:[1] Маклейн С., Гомология, пер. с англ., М., 1966; [2J EilenbergS., Moore J. С., Foundations of relative homological algebra, Providence, 1Я65.
В. Е. Говоров, А. В. Михалев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.