ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ КОЛЕЦ

ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ КОЛЕЦ

- общее название для результатов, описывающих свойства кольца (обычно, ассоциативного и с единицей) по свойствам тех или иных модулей над ним и, в частности, по свойствам категории всех левых (или правых) модулей над этим кольцом (см. Мориты эквивалентность).

Важнейшие примеры таких результатов следующие.

1) Классич. полупростота кольца равносильна как инъективности всех левых модулей над ним, так и их проективности, а также инъективности всех левых идеалов кольца (см. [1]).

2) Коммутативное локальное нётерово кольцо регулярно тогда и только тогда, когда оно имеет конечную глобальную гомологич. размерность.

3) Регулярность (в смысле Неймана) кольца имеет место в том и только в том случае, когда все модули над ним плоские, т. е. когда кольцо имеет нулевую слабую гомологич. размерность (см. [2]).

4) Проективность всякого плоского левого модуля равносильна условию минимальности для главных правых идеалов (см. Совершенное кольцо).

5) Кольцо нётерово слева тогда и только тогда, когда класс инъективных левых модулей над ним описывается формулами узкого исчисления предикатов на языке теории модулей (см. [4]).

См. также Артиново кольцо, Квазифробениусово кольцо, Когерентное кольцо, Полусовершенное кольцо, С амоинъективное кольцо.

Лит.:[1] Картан А., Эйленберг С., Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [2] Ламбек И., Кольца и модули, пер. с англ., М., 1971; [3] Скорняков Л. А "Математички весник", 1967, т. 4, № 4, с. 415-34; [4] Еk1оf P., Sabbagh G., "Ann. Math. Log.", 1971, v. 2, № 3, p. 251-95; [5] Маклейн С., Гомология, пер. с англ., М., 1966. А. В. Михалев, Л. А. Скорняков.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ КОЛЕЦ" в других словарях:

  • АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ — кольца и алгебры с ассоциативным умножением, т. е. множества с двумя бинарными операциями сложением + и умножением Х, являющиеся абелевой группой по сложению и полугруппой по умножению, причем умножение дистрибутивно (слева и справа) относительно …   Математическая энциклопедия

  • ИНЪЕКТИВНЫЙ МОДУЛЬ — инъективный объект в категории модулей над кольцом R, т. е. такой R модуль Енад ассоциативным кольцом R с единицей, что для любых R модулей М, N, для любого мономорфизма i: и для любого гомоморфизма f: найдется такой гомоморфизм g: что диаграмма… …   Математическая энциклопедия

  • КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, изучающий свойства коммутативных колец и связанных с ними объектов ( идеалов, модулей, нормирований и т. д.). К. а. выросла из задач, возникавших в теории чисел и алгебраич. геометрии. Задачи эти, как правило, относились к… …   Математическая энциклопедия

  • МОДУЛЕЙ КАТЕГОРИЯ — категория mod R, объекты к рой правые унитарные модули над произвольным ассоциативным кольцом Rс единицей, а, морфизмы гомоморфизмы R модулей. Эта категория является важнейшим примером абелевой категории. Более того, для всякой малой абелевой… …   Математическая энциклопедия

  • КЛАССИЧЕСКИ ПОЛУПРОСТОЕ КОЛЬЦО — ассоциативное артиново справа (или, что равносильно, артиново слева) кольцо с нулевым Джекобсона радикалом. Строение К. п. к. описывает Веддерберна Артина теорема. Класс К. п. к. может быть охарактеризован и гомологическими свойствами (см.… …   Математическая энциклопедия

  • ПОЛИГОН — над моноидом R, R полигон, операнд, непустое множество с моноидом операторов. Точнее, непустое множество Аназ. левым П. над моноидом К, если для любых и определено произведение , причем и 1а=а для любых . Правый П. определяется аналогично.… …   Математическая энциклопедия

  • МОДУЛЬ — абелева группа с кольцом операторов. М. является обобщением (линейного) векторного пространства над полем Кдля случая, когда Кзаменяется нек рым кольцом. Пусть задано кольцо А. Аддитивная абелева группа Мназ. левым А модулем, если определено… …   Математическая энциклопедия

  • Список академических дисциплин — Эта статья содержит незавершённый перевод с иностранного языка. Вы можете помочь проекту, переведя её до конца. Если вы знаете, на каком языке написан фрагмент, укажите его в этом шаблоне …   Википедия

  • МНОГООБРАЗИЕ — геометрический объект, локально имеющий строение (топологическое, гладкое, гомологическое или иное) числового пространства или другого векторного пространства. Это фундаментальное понятие математики уточняет и обобщает на любое число измерений… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»