- ГЛОБАЛЬНАЯ СТРУКТУРА ТРАЕКТОРИЙ
квадратичного дифференциала - описание поведения в целом траекторий положительного квадратичного дифференциала на конечной ориентированной римановой поверхности. Пусть R - конечная ориентированная риманова поверхность,
- положительный квадратичный дифференциал на R; пусть С- множество всех нулей и простых полюсов
, а Н - множество всех полюсов
порядка
.
Траектории
образуют семейство F, обладающее многими свойствами регулярных семейств кривых. Это семейство кривых покрывает R, за исключением точек множества
, т. е. через каждую точку из
проходит единственный элемент F. Поведение траекторий
в окрестности любой точки Rописывается локальной структурой траекторий квадратичного дифференциала. При рассмотрении глобальной структуры кривых семейства Fв точках
существенную роль играют следующие объединения траекторий. Пусть Ф - объединение всех траекторий
имеющих предельную концевую точку в нок-рой точке множества
- подмножество Ф, являющееся объединением всех траекторий
, к-рые имеют одну предельную концевую точку в точке множества Си вторую предельную концевую точку в точке множества
.
Множество Кна Rназ. F-множеством относительно
, если каждая траектория дифференциала
, пересекающаяся с К, полностью лежит в K. Внутреннее замыкание множества Копределяется как внутренность замыкания Ки обозначается К. Внутреннее замыкание F-множества снова является F-множеством. Концевой областью Еотносительно
наз. наибольшее связное открытое F-множество на R, обладающее следующими свойствами: 1) Ене содержит точек множества
; 2) Езаполнено траекториями дифференциала
, каждая из к-рых имеет предельную концевую точку в каждом из двух возможных направлений в данной точке
Еконформно отображается функцией
на верхнюю или нижнюю полуплоскость плоскости
(в зависимости от выбора ветви корня). Из локальной структуры траекторий
следует, что точка Адолжна быть полюсом дифференциала
не ниже 3-го порядка.
Полосообразной областью Sотносительно
наз. наибольшее связное открытое F- множество на Л, обладающее следующими свойствами: 1) 5 не содержит точек множества
; 2) Sзаполнено траекториями дифференциала
, каждая из к-рых имеет в одной точке
предельную концевую точку в одном направлении, а в другой (возможно, совпадающей с А).точке
- предельную концевую точку в другом направлении; 3) Sконформно отображается функцией
на полосу
где а, b- конечные действительные числа, а<b. Точки Аи Вмогут быть полюсами
порядка 2 и более.
Круговойобластью
относительно
наз. наибольшее связное открытое F-множество на R, обладающее следующими свойствами: 1)
содержит единственный двойной полюс Адифференциала
; 2)
заполнено траекториями дифференциала
, каждая из к-рых является замкнутой жордановой кривой, отделяющей Аот границы
; 3) при надлежащем выборе чисто мнимой постоянной сфункция
дополненная значением нуль в точке А, отображает
конформно на круг
, причем точка Апереходит в точку
.
Кольцевой областью D относительно
наз. наибольшее связное открытое F-множество на R, обладающее следующими свойствами: 1) Dне содержит точек множества
; 2) Dзаполнено траекториями дифференциала
, каждая из к-рых является замкнутой жордановой кривой; 3) при надлежащем выборе чисто мнимой постоянной сфункция
отображает Dконформно на круговое кольцо
Плотностной областью
относительно
наз. наибольшее связное открытое
-множество на R, обладающее свойствами: 1)
не содержит точек множества H; 2)
заполнено траекториями
каждая из к-рых всюду плотна в
.
Справедлива основная структурная теорема (см. [2]). Пусть R - конечная ориентированная риманова поверхность,
- положительный квадратичный дифференциал на R, причем исключаются следующие возможные случаи и все конфигурации, получающиеся из них посредством конформного отображения:I. R есть z-сфера,
П. Rесть z- сфера,
К - положительное, а - действительное числа; III. Rесть тор, Q(z)dz2 регулярен на R. Тогда: 1)
состоит из конечного числа концевых, полосообразных, кольцевых, круговых и плотно-стных областей; 2) каждая такая область ограничена конечным числом траекторий вместе с точками, в к-рых последние встречаются; каждая граничная компонента такой области содержит точку множества С, за исключением граничных компонент круговой или кольцевой области, к-рые могут совпадать с граничными компонентами R; для полосообразной области два граничных элемента, выходящие из точек множества Н, разделяют границу на две части, на каждой из к-рых имеется точка множества С;3) каждый полюс
порядка
имеет окрестность, покрываемую внутренним замыканием объединения m-2 концевых областей и конечного числа (возможно, равного нулю) полосообразных областей; 4) каждый полюс
порядка т=2 имеет окрестность, покрываемую внутренним замыканием объединения конечного числа полосообразных областей, или окрестность, содержащуюся в круговой области.
Из этой теоремы непосредственно следует утверждение основной структурной теоремы Дж. Дженкинса (J. Jenkins) в первоначальной формулировке (см. [1]): в условиях сформулированной теоремы множество
состоит из конечного числа концевых, полосообразных, круговых и кольцевых областей. Большое внимание в ряде исследований теории однолистных функций уделяется доказательству того факта, что для рассматриваемого квадратичного дифференциала
множество
пусто. Нахождение условий, обеспечивающих пустоту множества
, представляет и самостоятельный интерес. Пример квадратичного дифференциала
на z-сфере, для к-рого множество
пусто, дает следующая теорема о трех полюсах: если R есть z-сфера,
- квадратичный дифференциал на Л, имеющий не более трех различных полюсов, то множество
пусто.
Лит.:[1] Дженкинс Д ж., Однолистные функции и конформные отображения, пер. с англ., М., 1962; [2] Jеnkins J. A., "Illinois Math. J.", 1960, v. 4, № 3, p. 405-12.
Г. В. Кузьмина.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.