ДИФФЕРЕНЦИАЛ НА РИМАНОВОИ ПОВЕРХНОСТИ

- дифференциальная форма на римановой поверхности S, инвариантная относительно конформного преобразования локального униформизирующего параметра z=x+iy. Чаще всего встречаются дифференциалы (д.) первого' порядка - это дифференциальные формы размерности 1, линейные относительно дифференциалов каждой из переменных ( х, у), вида

инвариантные относительно замены параметра, с достаточно гладкими коэффициентами р, q,...; д. нулевого порядка - это достаточно гладкие комплексные функции f=f(x, у), g=g(x, у),..., инвариантные относительно замены параметра, т. е. функции точки PОS; д. второго порядка имеют вид

Все д. на римановых поверхностях порядков k>2 тождественно равны 0.

Сложение д. на римановых поверхностях одного и того же порядка определяется естественным путем:

оно коммутативно и ассоциативно. Внешнее умножение д. на римановых поверхностях дистрибутивно относительно сложения, обозначается знаком и определяется правилами:

отсюда

Вообще, при внешнем умножении д. порядка кна д. порядка lпри получается д. порядка k+1, а при - тождественный нуль. Линейный оператор дифференцирования переводит д. порядка k в д. порядка k+1:

Кроме того,

и всегда dd=0. Для д. на римановых поверхностях важен также линейный оператор звездного сопряжения

При этом

Оператор звездного сопряжения не совпадает с оператором комплексного сопряжения. Последний обозначается чертой: если f=g+ih, то =g-ih, =dx+dy, =dxdy;. далее, Оператор Лапласа A=d*d определен на д. нулевого порядка:

Дифференциал со наз. точным, если существует функция f на Sтакая, что всюду w=df, если w=*df, то со наз. коточным; д. со наз. замкнутым, если dw=0 на S, если d*w=0, то со - козамкнутый д. Из точности вытекает замкнутость, но обратное неверно. Пусть с ₁, с ₂, ...- циклы на S.

Интегралы называемые периодами дифференциала со, определяются обычным образом при помощи локальных униформизирующих. Если с ₁ и с ₂ гомологичны на Sи w - замкнутый д., то т. е. периоды замкнутого д. зависят только от класса гомологий. Все периоды точного д. равны нулю. Обратно, замкнутый д. является точным тогда и только тогда, когда все его периоды равны 0.

Функция наз. гармонической на S, если Df=0. Дифференциал наз. гармоническим дифференциалом на S, если со замкнут и козамкнут, dw=d*w=0. Гармонич. д. со является полным дифференциалом гармонич. функции в окрестности каждой точки Если действительные функции и,. на Sсвязаны соотношением du=*du, то они суть сопряженные гармонич. функции, удовлетворяющие условиям Коши - Римана. Следовательно, функция является регулярной аналитической, или голоморфной, на S, если *df=-idf. Дифференциал наз. регулярным аналитическим, или голоморфным, дифференциалом на S, если dw=0 и *w=-iw. Голоморфный д. со является полным дифференциалом голоморфной функции в окрестности каждой точки Голоморфный д. со представим локально в виде w=fdz, где dz=dx+idy, а f - голоморфная функция от z.

Классы эквивалентности измеримых комплексных дифференциалов на римановой поверхности, для к-рых интеграл конечен, образуют гильбертово пространство L²(S)с обычным сложением, умножением на комплексные скаляры и скалярным произведением

Каждый д. со класса единственным образом представим в виде суммы w=w_h+df+*dg, где и w_h - гармонический д. на римановой поверхности.

Рассмотренные выше гармонические и голоморфные функции или д. класса С ¹ на Sназ. регулярными на S. Пусть в проколотой окрестности Uточки определен д. q, к-рый, напр., гармоничен в U. Тогда говорят, что гармонич. д. со имеет особенность О в Р ₀, если разность w-q является регулярным гармонич. д.

Аналогичные определения применяются для гармонич. и аналитич. функций, аналитич. д. и т. п. В частности, в случае аналитического д. w=fdz обычно предполагается, что функция fлибо регулярная аналитическая в окрестности каждой точки либо имеет на Sлишь изолированные особые точки однозначного характера. Аналитич. д. со, имеющий на Sтолько особенности в виде полюсов

наз. мероморфным дифференциалом; при этом п - порядок полюса, при n=1 полюс наз. простым, a_-1- вычет д. со в полюсе Р ₀. Мероморфные д. на компактной римановой поверхности Sназ. абелевыми дифференциалами. Гармонич. функции на Sили на нек-рой области имеющие заданные особенности, иногда наз. абелевььми потенциалами.

Интегрирование абелевых д. приводит к абелевым интегралам, исчерпывающим в сущности все интегралы от алгебраич. функций. При изучении аналитич. д. на произвольной, вообще говоря, некомпактной римановой поверхности Sестественное требование сохранения основных черт классич. теории д. на компактных римановых поверхностях приводит к необходимости наложить на рассматриваемые регулярные д. дополнительные конформно инвариантные ограничения, наиболее употребительным из к-рых является условие интегрируемости, напр., аналитич. д. w=fdz с квадратом, т. е. условие конечности интеграла Дирихле:

В теории д. на римановых поверхностях основное значение имеет проблема существования гармонич. и аналитич. д. с заданными особенностями на произвольной римановой поверхности S. С этим вопросом непосредственно связана проблема глобальной униформизации римановых поверхностей, т. к. построение глобальной униформизирующей требует именно умения строить д. с заданными особенностями.

Ниже приведены основные результаты по проблеме существования..

Если на Sсуществует цикл с, не гомологичный нулю, то на Sсуществует всюду регулярный гармонич. д. w с периодоми всюду регулярный аналитич. д. w+i*w. Эти д. не являются точными, и поэтому при их интегрировании нельзя получить однозначных на Sгармонич. или аналитич. функций. На компактной римановой поверхности Sвсякий гармонический и точный д. тождественно равен нулю. Напротив, на некомпактных римановых поверхностях существуют отличные от тождественного нуля всюду регулярные точные гармонические и голоморфные д.

Пусть Р ₀- любая фиксированная точка произвольной римановой поверхности S, п- любое натуральное число. Тогда существуют: точный гармонич. д. с особенностью d(1/zⁿ) в P₀; точный действительный гармонич. д. с особенностью Re d(l/zⁿ) или Im d(l/zⁿ) в Р _о;гармонич. функция с особенностью 1/zⁿ в Р ₀;аналитич. д. с особенностью d(l/zⁿ )в Р ₀, у к-рого действительная часть есть точный д.

Пусть Р ₀ и Р ₁- любые различные точки S. Тогда существуют: гармонич. или аналитич. д. на Sс особенностями -dz/z в Р ₀ и dz/z в Р ₁;. действительная гармонич. функция на S с особенностями -ln|z| в Р ₀ и ln|z| в Р ₁.

Пусть Р ₀, Р ₁, ..., Р _n - любые попарно различные точки на Sи с ₀, с ₁,. . ., с _п- любые отличные от нуля комплексные числа такие, что c₀+c₁+ ... +c_n=0. Существует гармонический или аналитический д. на S, всюду регулярный, кроме Р ₀, Р ₁, ..., Р _п, а в точках Р _j имеющий простые полюсы соответственно с вычетами c_j , j = 0, 1, ..., п.

Для жордановых областей т. е. таких областей, граница к-рых дD состоит из пнепересекающихся жордановых кривых с ₁, с ₂, . .., с _n, возможно также решение Дирихле задачи.

Наиболее законченной является теория д. для компактных римановых поверхностей S. Пусть род Sравен g. Векторное пространство регулярных гармонич. д. со над полем комплексных чисел имеет размерность 2g. Если a₁b_ia₂b₂. . a_gb_g- циклы канонич. базиса гомологии S, то в качестве канонич. базиса д. можно выбрать д. w_i, i=1, 2, . . ., g, с периодом 1 вдоль a_i, а вдоль а _j, и вдоль всех b_i - с периодом 0; далее, w_g+i, i=l, 2, . .., g, имеют период 1 вдоль b, а вдоль bj, и вдоль всех а _i- период 0. Любой гармонич. д. со представляется в виде линейной комбинации

где А _i- так наз. A-периоды со вдоль циклов а _i, а В _i суть B-периоды w вдоль циклов b_i.

Голоморфные д. на компактной римановой поверхности наз. абелевым и дифференциалами первого рода. Размерность векторного пространства голоморфных д. равна g.

Все введенные выше д. на римановой поверхности можно выразить через переменные zи г, напр.:

и т. д. В отличие от комплексных многообразий высших размерностей, на римановых поверхностях нетривиальны только внешние дифференциальные формы типов (0, 0), (1, 0), (0, 1) и (1, 1), имеющие соответственно вид При этом аналитич. д. зависят только от z:

Применяются также нелинейные дифференциальные формы вида где ти п- целые числа.

Они также наз. дифференциалами типа ( т, п), или размерности ( т, п). При этом д. типа (0, 0) наз. функциями, типа (1, 0) - линейными дифференциалами, типа (-1, 0) - обратными дифференциалами, типа (2, 0) - квадратичными дифференциалами. Наибольшие применения получили квадратичные дифференциалы. См. также Глобальная структура траекторий, Локальная структура траекторий, Риманоеа поверхность, Униформизация.

Лит.:[1] Спрингер Дж ., Введение в теорию римановых поверхностей, пер. с англ., М., 1960; [2] Неванлинна Р., Униформизация, пер. с нем., М., 1955; [3] Шиффер М., Спенсер Д. К., Функционалы на конечных римановых поверхностях, пер. с англ., М., 1957; [4] Веhnke H., Sоmmer P., Theorie der analytischen Funktlonen emer komplexen veranderlichen, В., 1955.

E. Д. Соломенцее.