ГЛОБАЛЬНАЯ СТРУКТУРА ТРАЕКТОРИЙ

квадратичного дифференциала - описание поведения в целом траекторий положительного квадратичного дифференциала на конечной ориентированной римановой поверхности. Пусть R - конечная ориентированная риманова поверхность, - положительный квадратичный дифференциал на R; пусть С- множество всех нулей и простых полюсов , а Н - множество всех полюсов порядка .

Траектории образуют семейство F, обладающее многими свойствами регулярных семейств кривых. Это семейство кривых покрывает R, за исключением точек множества , т. е. через каждую точку из проходит единственный элемент F. Поведение траекторий в окрестности любой точки Rописывается локальной структурой траекторий квадратичного дифференциала. При рассмотрении глобальной структуры кривых семейства Fв точках существенную роль играют следующие объединения траекторий. Пусть Ф - объединение всех траекторий имеющих предельную концевую точку в нок-рой точке множества - подмножество Ф, являющееся объединением всех траекторий , к-рые имеют одну предельную концевую точку в точке множества Си вторую предельную концевую точку в точке множества .

Множество Кна Rназ. F-множеством относительно , если каждая траектория дифференциала , пересекающаяся с К, полностью лежит в K. Внутреннее замыкание множества Копределяется как внутренность замыкания Ки обозначается К. Внутреннее замыкание F-множества снова является F-множеством. Концевой областью Еотносительно наз. наибольшее связное открытое F-множество на R, обладающее следующими свойствами: 1) Ене содержит точек множества ; 2) Езаполнено траекториями дифференциала , каждая из к-рых имеет предельную концевую точку в каждом из двух возможных направлений в данной точке Еконформно отображается функцией

на верхнюю или нижнюю полуплоскость плоскости (в зависимости от выбора ветви корня). Из локальной структуры траекторий следует, что точка Адолжна быть полюсом дифференциала не ниже 3-го порядка.

Полосообразной областью Sотносительно наз. наибольшее связное открытое F- множество на Л, обладающее следующими свойствами: 1) 5 не содержит точек множества ; 2) Sзаполнено траекториями дифференциала , каждая из к-рых имеет в одной точке предельную концевую точку в одном направлении, а в другой (возможно, совпадающей с А).точке - предельную концевую точку в другом направлении; 3) Sконформно отображается функцией

на полосу где а, b- конечные действительные числа, а<b. Точки Аи Вмогут быть полюсами порядка 2 и более.

Круговойобластью относительно наз. наибольшее связное открытое F-множество на R, обладающее следующими свойствами: 1) содержит единственный двойной полюс Адифференциала ; 2) заполнено траекториями дифференциала , каждая из к-рых является замкнутой жордановой кривой, отделяющей Аот границы ; 3) при надлежащем выборе чисто мнимой постоянной сфункция

дополненная значением нуль в точке А, отображает конформно на круг , причем точка Апереходит в точку .

Кольцевой областью D относительно наз. наибольшее связное открытое F-множество на R, обладающее следующими свойствами: 1) Dне содержит точек множества ; 2) Dзаполнено траекториями дифференциала , каждая из к-рых является замкнутой жордановой кривой; 3) при надлежащем выборе чисто мнимой постоянной сфункция

отображает Dконформно на круговое кольцо

Плотностной областью относительно наз. наибольшее связное открытое -множество на R, обладающее свойствами: 1) не содержит точек множества H; 2) заполнено траекториями каждая из к-рых всюду плотна в .

Справедлива основная структурная теорема (см. [2]). Пусть R - конечная ориентированная риманова поверхность, - положительный квадратичный дифференциал на R, причем исключаются следующие возможные случаи и все конфигурации, получающиеся из них посредством конформного отображения:I. R есть z-сфера, П. Rесть z- сфера, К - положительное, а - действительное числа; III. Rесть тор, Q(z)dz² регулярен на R. Тогда: 1) состоит из конечного числа концевых, полосообразных, кольцевых, круговых и плотно-стных областей; 2) каждая такая область ограничена конечным числом траекторий вместе с точками, в к-рых последние встречаются; каждая граничная компонента такой области содержит точку множества С, за исключением граничных компонент круговой или кольцевой области, к-рые могут совпадать с граничными компонентами R; для полосообразной области два граничных элемента, выходящие из точек множества Н, разделяют границу на две части, на каждой из к-рых имеется точка множества С;3) каждый полюс порядка имеет окрестность, покрываемую внутренним замыканием объединения m-2 концевых областей и конечного числа (возможно, равного нулю) полосообразных областей; 4) каждый полюс порядка т=2 имеет окрестность, покрываемую внутренним замыканием объединения конечного числа полосообразных областей, или окрестность, содержащуюся в круговой области.

Из этой теоремы непосредственно следует утверждение основной структурной теоремы Дж. Дженкинса (J. Jenkins) в первоначальной формулировке (см. [1]): в условиях сформулированной теоремы множество состоит из конечного числа концевых, полосообразных, круговых и кольцевых областей. Большое внимание в ряде исследований теории однолистных функций уделяется доказательству того факта, что для рассматриваемого квадратичного дифференциала множество пусто. Нахождение условий, обеспечивающих пустоту множества , представляет и самостоятельный интерес. Пример квадратичного дифференциала на z-сфере, для к-рого множество пусто, дает следующая теорема о трех полюсах: если R есть z-сфера, - квадратичный дифференциал на Л, имеющий не более трех различных полюсов, то множество пусто.

Лит.:[1] Дженкинс Д ж., Однолистные функции и конформные отображения, пер. с англ., М., 1962; [2] Jеnkins J. A., "Illinois Math. J.", 1960, v. 4, № 3, p. 405-12.

Г. В. Кузьмина.