- ГИЛЬБЕРТОВА АЛГЕБРА
алгебра Ас инволюцией над полем комплексных чисел, снабженная невырожденным скалярным произведением (|), причем выполняются следующие аксиомы: 1)
для всех
для всех
3) для всех
отображение
пространства Ав Анепрерывно; 4) множество элементов вида
,
всюду плотно в А. Примерами гильбертовых алгебр являются алгебры
(относительно свертки), где
- компактная топологич. группа, и алгебра операторов Гильберта - Шмидта в данном гильбертовом пространстве.
Пусть А - Г. а., Н - гильбертово пространство - пополнение
- элементы алгебры ограниченных линейных операторов в H, являющиеся продолжениями по непрерывности умножений слева и справа на хв А. Отображение
(соответственно
) есть невырожденное представление алгебры А(соответственно алгебры с инволюцией, противоположной А).в гильбертовом пространстве Н. Слабое замыкание семейства операторов
(соответственно V).является алгеброй Неймана в Н;она наз. левой (соответственно правой) алгеброй Неймана данной Г. а. Аи обозначается
(соответственно
);
и
являются коммутантами друг друга; это - полуконечные алгебры Неймана. Любая Г. а. однозначно определяет нек-рый точный нормальный полуконечный след на алгебре Неймана
; обратно, если дана алгебра Неймана
и точный нормальный полуконечный след на
, то можно построить Г. а. такую, что левая алгебра Неймана этой Г. а. изоморфна
, и след, определяемый на
Г. а., совпадает с исходным (см. [1]). Таким образом, Г. а. является средством изучения полуконечных алгебр Неймана и следов на них; нек-рое обобщение понятия Г. а. позволяет изучать аналогичными средствами не обязательно полуконечные алгебры Неймана (см. [2]). Лит.:[1] Dixmier J., Les algebres d'operateurs dans 1'espace hilbertien, 2 ed., P., 1969; [2] Тakesaki M., Tomita's theory of modular Hilbert algebras and its applications, В., 1970. А. И. Штерн.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.