ДУАЛЬНАЯ АЛГЕБРА

- топологическая алгебра, в к-рой для любого замкнутого левого (соответственно правого) идеала I левый аннулятор правого (соответственно правый аннулятор левого) аннулятора идеала совпадает с I. Наибольший интерес представляют вопросы реализации Д. а. в виде алгебр операторов и установление связей между свойствами аннуляторности и дуальности топологич. алгебр различных классов, в частности комплексных банаховых алгебр с инволюцией, в том числе гильбертовых алгебр и С*-алгебр.

С*-алгебра вполне непрерывных линейных операторов в гильбертовом пространстве и гильбертова алгебра операторов Гильберта - Шмидта в гильбертовом пространстве - Д. а. Всякая дуальная банахова алгебра, являющаяся С*-алгеброй, изоморфна пополнению алгебраической прямой суммы алгебр вполне непрерывных операторов в нек-рых гильбертовых пространствах. Всякая полная гильбертова алгебра дуальна; она изоморфна прямой ортогональной сумме гильбертовых алгебр операторов Гильберта - Шмидта в нек-рых гильбертовых пространствах. Всякая полупростая Д. а. с непрерывным квазиобратным - пополнение прямой суммы всех своих минимальных замкнутых двусторонних идеалов, к-рые являются топологически простыми Д. а.; топологически простая Д. а. Аможет быть реализована как алгебра непрерывных линейных операторов в нек-ром топологическом векторном пространстве Е, содержащая множество К(Е)конечномерных непрерывных линейных операторов в Е;если А- банахова алгебра, то образ Апри этой реализации содержится в равномерном замыкании F(E)алгебры К(Е). С другой стороны, существует рефлексивное банахово пространство Етакое, что (топологически простая, аннуляторная) банахова алгебра F(E)не является дуальной.

Лит.:[1] Нармарк М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968; [2] Dаvie A. M., "Bull. London Math. Soc ", 1973, v. 5, № 1, p. 79-80.

А. И. Штерн.