ПРЕДЕЛЬНОГО ПОГЛОЩЕНИЯ ПРИНЦИП

ПРЕДЕЛЬНОГО ПОГЛОЩЕНИЯ ПРИНЦИП

способ однозначного выделения решений уравнений, аналогичных Гелъмголъца уравнению, с помощью введения бесконечно малого поглощения. Математич. смысл П. п. п. состоит в следующем. Пусть W - неограниченная область в , Р - самосопряженный оператор в L2(W), задаваемый дифференциальным выражением

, и однородными граничными условиями на дW, l - точка непрерывного спектра оператора Р. Тогда при уравнение


однозначно разрешимо в L2(W) и в нек-рых случаях можно выделить решения u=u+ уравнения


с помощью предельного перехода


При этом предполагается, что f имеет компактный носитель, а сходимость при понимается в смысле L2(W'), где W' - произвольная ограниченная область в W. Так как l - точка спектра оператора Р, то указанный предел в L2(W), вообще говоря, не существует.

Впервые П. п. п. был сформулирован для уравнения Гельмгольца в (см. [1]):


Выделяемые с помощью этого принципа решения и + соответствуют расходящимся или сходящимся волнам и удовлетворяют излучения условию на бесконечности. Эти результаты были перенесены (см. [2], [3]) на эллиптические краевые задачи во внешности ограниченной области в для оператора

(*)

где коэффициенты а ki(x) достаточно быстро стремятся к константам при . Для справедливости П. п. п. в этом случае необходимо требовать, чтобы l не было собственным значением оператора Рили f была ортогональна собственным функциям. Теорема Като (см. [3]) дает достаточные условия отсутствия собственных значений на непрерывном спектре оператора Р=D+q (х). Такая теорема получена для оператора (*) (см. [3]). П. п. п. обоснован для нек-рых областей с некомпактной границей (см. [3], [4]).

П. п. п. и соответствующие условия излучения найдены для уравнений любого порядка и систем уравнений (см. [5], [6]); они состоят в следующем. <Пусть - эллиптический (или гипоэллиптический) оператор, удовлетворяющий условиям: 1) многочлен Р(s) имеет действительные коэффициенты, 2) поверхность Р(s)=0, , распадается на -связных гладких поверхностей Sj с отличной от нуля кривизной, 3) gradР(s)0 на Sj. Пусть на Sj заданы ориентации, т. е. независимо для каждой поверхности выбраны направления нормали v. Пусть - точка на Sj, в к-рой v и w имеют одинаковые направления, и mj(w)=(sj(w),w). Тогда функция и(х).удовлетворяет условиям излучения, если она представима в виде


Эти условия выделяют единственное решение уравнения


для любой функции f с компактным носителем. П. п. п. для этого уравнения заключается в том, что это же решение получается в пределе при из однозначного определяемого решения эллиптич. уравнения


где Q(s) имеет действительные коэффициенты и Q(s)0 на Sj. В зависимости от набора

, в пределе получаются решения с условиями излучения, соответствующими той или иной ориентации поверхностей Sj. Этот принцип обоснован для уравнений и систем любого порядка с переменными коэффициентами во внешности ограниченной области (см. [5], [6]), а также в случае невыпуклых Sj;для этих уравнений имеется и теорема единственности типа Като.

Лит.:[1] Игнатовский B.C., "Ann. Phys.", 1905, Bd 18, № 13, S. 495-522; [2] Повзнер А. Я., "Матем. сб.", 1953, т. 32, № 1, с. 109-56; [3] Эйдус Д. М., "Успехи ма-тем. наук", 1969, т. 24, в. 3, с. 91-156; [4] Свешников А. Г., "Докл. АН СССР", 1951, т. 80, № 3, с. 345-47; [5] Вайнберг Б. Р., "Успехи матем. наук", 1966, т. 21, в. 3, с. 115-94; [6] его ж е, "Матем. сб.", 1968, т. 75, №3, с. 454-80.

В. Р. Вайнберг.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Полезное


Смотреть что такое "ПРЕДЕЛЬНОГО ПОГЛОЩЕНИЯ ПРИНЦИП" в других словарях:

  • ПРЕДЕЛЬНОЙ АМПЛИТУДЫ ПРИНЦИП — способ однозначного выделения решений стационарных уравнений, описывающих установившиеся колебания, через предел при амплитуды решений соответствующих нестационарных уравнений с нулевыми начальными данными и периодической по tправой частью вида …   Математическая энциклопедия

  • ВНЕШНЯЯ И ВНУТРЕННЯЯ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ — краевые задачи (к. з.) для эллиптич. уравнений с частными производными соответственно в конечной (внутренней) D+ и бесконечной (внешней) D областях, на к рые данная замкнутая гладкая поверхность S, гомеоморфная сфере, разделяет евклидово… …   Математическая энциклопедия

  • ГЕЛЬМГОЛЬЦА УРАВНЕНИЕ — уравнение с частными производными вида где с постоянное число. К Г. у. приводит изучение установившихся колебательных процессов. При Г. у. переходит в Лапласа уравнение. В случае, если в правой части Г. у. стоит функция , это уравнение наз.… …   Математическая энциклопедия

  • ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ — потенциалы эл. магн. поля, учитывающие запаздывание изменений поля в данной точке пр ва по отношению к изменению зарядов и токов, создающих поле и находящихся на нек ром расстоянии от рассматриваемой точки. Потенциалы электромагнитного поля… …   Физическая энциклопедия

  • ИЗЛУЧЕНИЯ УСЛОВИЯ — условия на бесконечности единственности решения внешних краевых задач для уравнений эллпптич. типа, являющихся математич. моделью установившихся колебаний различной физич. природы. Физич. смысл И. у. заключается в выделении решения краевой задачи …   Математическая энциклопедия

  • Смазочные материалы* — (франц. graisse; англ. grease, smear, ungment; нем. Schmiermittel) представляют вещества различного происхождения и состава, при обыкновенной t° находящиеся в жидком, твердом и промежуточном между ними состоянии и предназначаемые для устранения… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Смазочные материалы — (франц. graisse; англ. grease, smear, ungment; нем. Schmiermittel) представляют вещества различного происхождения и состава, при обыкновенной t° находящиеся в жидком, твердом и промежуточном между ними состоянии и предназначаемые для устранения… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • время — 3.3.4 время tE (time tE): время нагрева начальным пусковым переменным током IА обмотки ротора или статора от температуры, достигаемой в номинальном режиме работы, до допустимой температуры при максимальной температуре окружающей среды. Источник …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • СССР. Естественные науки —         Математика          Научные исследования в области математики начали проводиться в России с 18 в., когда членами Петербургской АН стали Л. Эйлер, Д. Бернулли и другие западноевропейские учёные. По замыслу Петра I академики иностранцы… …   Большая советская энциклопедия

  • Планк, Макс — Эта статья  о немецком физике. Другие значения термина в заглавии статьи см. на Планк (значения). Макс Планк Max Planck …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»