ГЕЛЬМГОЛЬЦА УРАВНЕНИЕ это:

ГЕЛЬМГОЛЬЦА УРАВНЕНИЕ

уравнение с частными производными вида


где с - постоянное число. К Г. у. приводит изучение установившихся колебательных процессов. При Г. у. переходит в Лапласа уравнение. В случае, если в правой части Г. у. стоит функция , это уравнение наз. неоднородным Г. у.

Для Г. у., являющегося уравнением эллиптич. типа, в ограниченной области ставятся обычные краевые задачи (Дирихле, Неймана и др.). Те значения с, для к-рых существует не равное тождественно нулю решение однородного Г. у., удовлетворяющее соответствующему однородному краевому условию, наз. собственным значением оператора Лапласа (соответствующей краевой задачи). В частности, для задачи Дирихле все собственные значения положительны, а для задачи Неймана - неотрицательны. Для значений с, совпадающих с собственными значениями, решение краевой задачи для Г. у. заведомо неедннственно. Если же значения сотличны от собственных, то теорема единственности справедлива.

При решении краевых задач для Г. у. применяются обычные методы теории эллиптич. уравнений (сведение к интегральному уравнению, вариационный метод, метод конечных разностей).

В случае неограниченной области с компактной границей для Г. у. ставятся внешние краевые задачи, к-рые при имеют единственное решение, стремящееся к нулю на бесконечности. При стремящееся к нулю на бесконечности решение Г. у., вообще говоря, не является единственным. В этом случае для выделения единственного решения ставят дополнительные условия (см. Внешняя и внутренняя краевые задачи, Предельного поглощения принцип).

Для регулярного в области G решения Г. у. справедлива следующая формула среднего значения



где - сфера радиуса г с центром в точке х а, целиком лежащая в области - Бесселя функция порядка .

Г. у. рассматривалось Г. Гельмгольцем (Н. Helmlioltz), к-рый получил первые теоремы о решении краевых задач для этого уравнения в 1860.

Лит.:[1] Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики, пер. с нем., т. 1 (3 изд.), т. 2 (2 изд.), М.- Л., 1951: [2] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966.

Ш. А. Алимов, В. А. Ильин.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ГЕЛЬМГОЛЬЦА УРАВНЕНИЕ" в других словарях:

  • Уравнение Лапласа — Уравнение Лапласа  дифференциальное уравнение в частных производных. В трёхмерном пространстве уравнение Лапласа записывается так: и является частным случаем уравнения Гельмгольца. Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном… …   Википедия

  • Уравнение колебаний струны — Волновое уравнение в математике  линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика,… …   Википедия

  • Уравнение колебания струны — Волновое уравнение в математике  линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика,… …   Википедия

  • УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ — связывает давление р., объём V и темп ру Т физически однородной системы в состоянии равновесия термодинамического: f(p, V, Т)=0. Это ур ние наз. термическим У. с., в отличие от калорического У. с., определяющего внутреннюю энергию U системы как ф …   Физическая энциклопедия

  • Уравнение Гельмгольца — Уравнение Гельмгольца  это эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных: где   это оператор Лапласа, а неизвестная функция U определена в (на практике уравнение Гельмгольца применяется для n = 1, 2, 3). Содержание …   Википедия

  • Уравнение состояния — У этого термина существуют и другие значения, см. Уравнение состояния (космология). Уравнение состояния …   Википедия

  • Уравнение Ланжевена —     Статистическая физика …   Википедия

  • уравнение Гиббса-Гельмгольца — Gibso ir Helmholco lygtis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Gibbs Helmholtz equation vok. Gibbs Helmholtzsche Gleichung, f rus. уравнение Гиббса Гельмгольца, n pranc. relation de Gibbs Helmholtz, f …   Fizikos terminų žodynas

  • уравнение состояния — 3.1.5 уравнение состояния (equation of state): Математическое выражение взаимосвязи между параметрами состояния газа или гомогенной газовой смеси. Примечание В этой части следует учитывать различия между двумя видами уравнения состояния, а именно …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА — уравнение, к рое содержит хотя бы одну производную 2 го порядка от неизвестной функции и(х)и не содержит производных более высокого порядка. Напр., линейное уравнение 2 го порядка имеет вид где точка х ( х 1, х 2, ..., х п )принадлежит нек рой… …   Математическая энциклопедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»