ПОТЕНЦИАЛА ТЕОРИЯ

- в первоначальном понимании - учение о свойствах сил, действующих по закону всемирного тяготения. В формулировке этого закона, данной И. Ньютоном (I. Newton, 1687), речь идет только о силах взаимного притяжения, действующих на две материальные частицы малых размеров, или материальные точки, прямо пропорциональные произведению масс этих частиц и обратно пропорциональные квадрату расстояния между частицами. Поэтому первой и важнейшей с точки зрения небесной механики и геодезии задачей было изучение сил притяжения материальной точки ограниченным гладким материальным телом- сфероидом и, в частности, эллипсоидом (ибо многие небесные тела имеют именно эту форму). После первых частных достижений И. Ньютона и др. ученых основное значение здесь имели работы Ж. Лагранжа (J. Lagrange, 1773), А. Лежандра (A. Legendre, 1784-94) и П. Лапласа (P. Laplace, 1782-99). Ж. Лагранж установил, что поле сил тяготения, как говорят теперь,- потенциальное, и ввел функцию, к-рую позже Дж. Грин (G. Green, 1828) назвал потенциальной, а К. Гаусс (С. Gauss, 1840) - просто потенциалом. Ныне достижения этого первоначального периода обычно входят в курсы классич. небесной механики (см. также [2]).

Еще К. Гаусс и его современники обнаружили, что потенциалов метод применим не только для решения задач теории тяготения, но и вообще для решения широкого круга задач математич. физики, в частности электростатики и магнетизма. В связи с этим стали рассматриваться потенциалы не только физически реальных в вопросах взаимного притяжения положительных масс, но и "масс" произвольного знака, или зарядов. В П. т. определились основные краевые задачи такие, как Дирихле задача и Неймана задача, электростатич. задача о статич. распределении нарядов на проводниках, или Робена задача, задача о выметании масс (см. Выметания метод). Для решения указанных задач в случае областей с достаточно гладкой границей оказались эффективным средством специальные разновидности потенциалов, т. е. специальные виды интегралов, зависящих от параметров, такие, как потенциал объемно распределенных масс, потенциалы простого и двойного слоя, логарифмич. потенциалы, потенциалы Грива и др. Основную роль в создании строгих методов решения основных краевых задач сыграли работы А. М. Ляпунова и В. А. Стеклова кон. 19 в. Изучение свойств потенциалов различных видов приобрело в П. т. и самостоятельное значение.

Мощный стимул в направлении обобщения основных задач и законченности формулировок П. т. получила начиная с 1-й пол. 20 в. на основе использования общих понятий меры в смысле Радона, емкости и обобщенных функций. Современная П. т. тесно связана в своем развитии с теорией аналитич. ций, гармонич. функций, субгармонич. функций и теорией вероятностей.

Наряду с дальнейшим углубленным изучением классических краевых задач и обратных задач (см. Потенциала теории обратные задачи).для современного периода развития П. т. характерно применение методов и понятий современной топологии и функционального анализа, применение абстрактных аксиоматич. методов (см. Потенциала теория абстрактная).

Основные типы потенциалов и их свойства. Пусть S - гладкая замкнутая поверхность, то есть ( п-1)-мерное гладкое многообразие без края, в n-мерном евклидовом пространстве , ограничивающая конечную область G=G⁺ , дG=S, и пусть G^-= - внешняя бесконечная область. Пусть

- главное фундаментальное решение уравнения Лапласа в , где

- расстояние между точками x=(x₁, . . ., х _п).и y=(y₁ ,..., y _п). в , - площадь единичной сферы в , Г - гамма-функция. Три интеграла, зависящих от хкак от параметра:

(1)

где n _у - направление внешней относительно G+ нормали к Sв точке , наз. соответственно объемным потенциалом, потенциалом простого слоя и потенциалом двойного слоя. Функции r(у),m(y).и v(y).наз. плотностями соответствующих потенциалов; ниже они будут предполагаться абсолютно интегрируемыми соответственно на Gили S. При n=3 (а иногда и при п 3) интегралы (1) наз. ньютоновым объемным потенциалом, ньютоновыми потенциалами простого и двойного слоя, при n=2 - логарифмическими потенциалами масс, простого и двойного слоя. Пусть r принадлежит классу . Тогда объемный потенциал и его производные 1-го порядка непрерывны всюду в , причем их можно вычислить посредством дифференцирования под знаком интеграла, то есть . Далее,

Производные 2-го порядка непрерывны всюду вне S, но при переходе через поверхность Sони претерпевают разрыв, причем в области G⁺ удовлетворяется уравнение Пуассона - , а в G^-- уравнение Лапласа . Перечисленные свойства характеризуют объемный потенциал.

Если G, - конечная область пространства R" с границей S₁=дG₁ класса С ¹, то справедлива формула Гаусса для объемного потенциала:

Пусть . Потенциал простого слоя V(х).есть гармонич. функция при , причем

в частности, при n 3, но

при n=2 тогда и только тогда, когда

Потенциал простого слоя непрерывен всюду в , , причем V(х).и его касательные производные непрерывны при переходе через поверхность S. Нормальная производная потенциала простого слоя при переходе через поверхность Sиспытывает скачок:

где и - предельные значения нормальной производной соответственно из G⁺ и G^-, то есть

Через дV(x)/дn_x здесь обозначено т. н. прямое значение нормальной производной потенциала простого слоя, вычисленное на поверхности S, то есть

к-рое является непрерывной функцией точки , а ядро дЕ( х, у)/дп _х имеет слабую особенность на S,

Перечисленные свойства характеризуют потенциал простого слоя.

Пусть . Потенциал двойного слоя W(x).есть гармонич. функция при , причем

При переходе через поверхность Sпотенциал двойного слоя испытывает скачок:

где W⁺ (х).и W^- (х) - предельные значения потенциала двойного слоя соответственно из G⁺ и G^-, то есть

Через W(х).при обозначено т. н. прямое значение потенциала двойного слоя, вычисленное на поверхности S, то есть

к-рое является непрерывной функцией точки , а ядро дЕ( х, у)/дп _у имеет слабую особенность на S.

Касательные производные потенциала двойного слоя также испытывают скачок при переходе через поверхность S, но нормальная производная дW(x)/dn_x сохраняет свое значение при переходе через S:

Перечисленные свойства характеризуют потенциал двойного слоя.

В случае постоянной плотности v=1 имеет место формула Гаусса для потенциала двойного слоя:

Интеграл в левой части этого равенства интерпретируется как (деленный на w_n( п-2)) телесный угол, под к-рым видна поверхность Sиз точки х.

Ниже дополнительно приводятся нек-рые свойства потенциалов при меньших ограничениях на плотности и поверхность S.

Если , то Z(x) - гармонич. функция при и Z(x).суммируема в G⁺ . Если rL_p(G), 1pn/2, то ZL_q(), l/p+l/q=l, 1<q<np/(n-2p);если rL_p(G), p>n/2, тоZC(Rⁿ). Если rL_p(G), 1р n, то Z(), 1<q<np/(n-р);если rL_p(G), p>n, то ZG¹(). Если rL₂(G), то существуют обобщенные производные 2-го порядка от Z(х), они также принадлежат классу L₂(G).и выражаются с помощью сингулярных интегралов:

где d_ij=1 при i=j, d_ij = 0 при ; если rL_p(G), 1<р<, то все обобщенные производные д ²Z/dx_idx_j также существуют и принадлежат . Если р L_p(G),, то Z(x).есть обобщенное решение уравнения Пуассона -DZ=r(х), . Если rС ^(1,a)(G) и SС ^(0,a), 0<a<1, то ZС ^(2,a) в G⁺ или G^-. Если rС ^(l,a)(G) и SС ^(k+1,a), 0<a<1, l, k- целые, , то ZС^(l+2,a)(G⁺).

Пусть - замкнутая конечная область такая, что . Тогда если

, дV/dx_iL_p(D),p=l, 2; i=l, 2, ..., n. Если плотность m ограниченная и суммируемая, то

Если в G⁺ или G^-. Если в G + или G-.

Если - целые, , то в G⁺ или G^-. Если vC^(l,a)(S) и SC^(k+1,a), 0<a<1, l, k - целые, , то WC^(l,a) в G⁺ или G^-.

Для доопределенных по непрерывности потенциалов и их производных на поверхности Sописанные выше свойства гладкости также остаются в силе при соответствующих условиях гладкости на плотность и поверхность S.

Представление функций и решение основных краевых задач теории потенциала с помощью потенциалов. Пусть Ф (х) - функция класса - гладкая поверхность класса С ². Тогда справедливо интегральное тождество (формула Грина):

(2)

В частности, в области G функция Ф(х).представима в виде суммы объемного потенциала и потенциалов простого и двойного слоя соответственно с плотностями

Для гармонической в области Gфункции и(х).класса имеет место тождество

, (3)

и поэтому такая функция и(х).представима в G в виде суммы потенциалов простого и двойного слоя соответственно с плотностями m(у)=ди (у)/дп _у, v (у)=-и (у). Однако эти плотности в формуле (3) не могут задаваться произвольно на S, они связаны интегральным соотношением, получающимся из (3) при .

Центральное место в П. т. занимают краевые задачи Дирихле и Неймана (наз. также первой и второй краевыми задачами) для областей G⁺ (внутренние задачи) и G- (внешние задачи), к-рые в предположении достаточной гладкости поверхности удается полностью исследовать сведением их к интегральным уравнениям П. т.

Внутренняя задача Дирихле: найти гармоническую в G⁺ функцию и(х).класса , , удовлетворяющую краевому условию u(x).j⁺(x),, где j⁺ (х) - данная непрерывная функция на S. Решение этой задачи всегда существует, единственно и может быть найдено в виде потенциала двойного слоя

с плотностью v, к-рая находится как единственное решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода

Внутренняя задача Неймана: найти гармоническую в области G⁺ функцию и(х).класса , удовлетворяющую краевому условию , где y⁺ (х) - данная непрерывная функция на S. Решение этой задачи существует тогда и только тогда, когда функция y⁺(x). удовлетворяет условию ортогональности

(4)

Это решение определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной Св виде u(x)=V (х)+С, где

- потенциал простого слоя, плотность m к-рого определяется из интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода

(5)

Соответствующее однородное уравнение имеет нетривиальное решение m₀(x)> ^а неоднородное уравнение (5) разрешимо при выполнении условия (4), причем его общее решение имеет вид , где с - произвольная постоянная.

Внешняя задача Дирихле: найти гармоническую в области , функцию u(х).класса

, удовлетворяющую краевому условию , где j^-(x) - данная непрерывная функция на S;при этом и(х).предполагается регулярной на бесконечности, т. е.

Решение этой задачи всегда существует, единственно и может быть найдено в виде

где А - постоянная,

- потенциал двойного слоя, плотность v к-рого является решением интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода

(6)

Соответствующее однородное уравнение имеет нетривиальное решение . При надлежащем выборе постоянной Арешение неоднородного уравнения (6) имеет вид где С - произвольная постоянная, a v^-(y) - частное решение ур-ния (6). Постоянная Аподбирается в виде

где плотность v₀ должна удовлетворять условию

(7)

Эта плотность v₀ есть нетривиальное решение уравнения (5) внутренней задачи Неймана с данными y + (х)=0, , удовлетворяющее эквивалентному (7) при условию нормировки

Потенциал простого слоя V₀(x).плотности v₀(x) наз. равновесным потенциалом, или потенциалом Робена. Плотность v₀(x) дает решение задачи Робена или электростатич. задачи о распределении зарядов на проводнике S, создающем равновесный потенциал, постоянный в области G⁺. Нек-рая сложность решения внешней задачи Дирихле происходит из-за того, что регулярная на бесконечности гармонич. функция и(х), вообще говоря, убывает при медленнее, чем потенциал двойного слоя, и поэтому u(x) в общем случае нельзя представить в виде одного только потенциала двойного слоя.

Внешняя задача Неймана: найти гармоническую в области , функцию и(x) класса , удовлетворяющую краевому условию , где y^- (х) - данная непрерывная функция на S;при этом и(х).предполагается регулярной на бесконечности. При решение этой задачи всегда существует и единственно; при п=2 решение существует тогда и только тогда, когда выполняется условие

(8)

причем решение определено лишь с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Решение внешней задачи Неймана представимо в виде потенциала простого слоя

плотность m к-poro есть решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода

(9)

При решение этого уравнения всегда существует и единственно. При n=2 соответствующее однородное уравнение имеет нетривиальное решение m₀(x), поэтому неоднородное уравнение (9) при выполнении условия разрешимости (8) имеет единственное решение такое, что а его общее решение имеет вид , где с- произвольная постоянная.

Решение краевых задач П. т. может быть получено также с помощью Грина функции. Напр., для (внутренней) задачи Дирихле функция Грина имеет вид

где g(x, у) - гармонич. функция в G⁺ и непрерывная в но x, для каждого удовлетворяющая краевому условию . Решение (внутренней) задачи Дирихле и(х).класса для уравнения Пуассона , с краевым условием , представимо в виде

Зависящие от параметра хинтегралы

наз. соответственно объемным потенциалом Грина (задачи Дирихле), потенциалом Грина двойного слоя. Их свойства аналогичны свойствам потенциалов (1).

С помощью функции Грина к интегральным уравнениям сводятся задачи на собственные значения. Напр., задача Дирихле , с краевым условием , сводится к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода с самосопряженным ядром

Дальнейшее обобщение некоторых основных понятий теории потенциала. Параллельно с углубленным изучением свойств потенциалов (1), определяемых плотностями более пли менее общего вида, и их применений само понятие потенциала подверглось начиная примерно с 20-х гг. 20 в. глубокому обобщению, связанному с понятием меры и интеграла Радона.

Пусть - положительная борелевская мера на пространстве с компактным носителем supp l. Потенциал меры

(10)

существует всюду в Rⁿ в смысле отображения при и при n=2 (т. е. здесь допускается и значение ) и является супергармонической функцией всюду в , гармонической - вне носителя меры supp l. Для меры l. произвольного знака с компактным носителем потенциал El определяется, исходя из канонич. разложения l , в виде . В тех точках , где оба потенциала Еl⁺ (х). и Еl^- (х). принимают значение , этот потенциал не определен. Если мера сосредоточена на гладкой поверхности S, то аналогично (10) определяется и потенциал двойного слоя меры l:

Потенциал (10) конечен, , всюду в , за исключением точек полярного множества, к-рое характеризуется как множество внешней емкости нуль. Если Еl(х)=0 всюду, кроме множества внешней емкости нуль, то l=0. Если мера сосредоточена на множестве емкости нуль, то sup . Справедлив следующий принцип максимума:

т. е. верхняя грань Еl(х).есть верхняя грань сужения Еlна supp l. Если это сужение непрерывно (в обобщенном смысле, включая значение ) в точке х ₀supp l, то потенциал Еl(х).непрерывен в точке х ₀ в . Потенциалы мер Еlсводятся к потенциалам плотностей (1) тогда и только тогда, когда мера l абсолютно непрерывна по мере Лебега соответственно на Gили на S(см. [3]-[6]).

Если Т - обобщенная функция, или распределение, в , то потенциал распределения определяется как свертка Е*Т, являющаяся также обобщенной функцией. Напр., если Т - финитная обобщенная функция, то в в смысле обобщенных функций справедливо уравнение Пуассона Потенциалы мер можно рассматривать как частный случай потенциалов распределений. О потенциалах распределений см. [3], [4], [9].

Для областей с достаточно гладкой границей Sметод потенциалов дает эффективное решение задачи Дирихле. Одно из основных направлений развития П. т. состоит в открытии методов доказательства существования и единственности решения задачи Дирихле для все более широких классов областей (см. Выметания метод, Дирихле принцип, Перрона метод, Шварца альтернирующий метод). Однако в 1910 С. Заремба (S. Zaremba) заметил, что для плоской области Gпри наличии изолированных точек границы дG=S задача Дирихле в приведенной выше классич. постановке не всегда разрешима; более того, в 1912 А. Лебег (Н. Lebesgue) показал, что она не всегда разрешима и для пространственных областей, гомеоморфных шару, при наличии достаточно острого входящего в область острия границы (т. н. острие Лебега, см. Иррегулярная граничная точка), т. е. существуют такие непрерывные функции , для к-рых задача Дирихле не разрешима никаким способом.

Поэтому важное значение имеет полученное в ходе развития метода Перрона обобщенное решение в смысле Перрона - Винера задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Как показал Н. Винер (N. Wiener, 1924), при этом любая конечная непрерывная функция j=j⁺ , заданная на границе S=дG произвольной конечной области , разрешима, т. е. для нее существует и притом единственное обобщенное решение H_j (х).в смысле Перрона - Винера. Вообще, в 1939 М. Брело (М. Brelot) показал, что конечная измеримая функция j на Sразрешима тогда и только тогда, когда j интегрируема по гармонической мере на S.

Обобщенное решение H_j (х).не во всех граничных точках принимает заданные значения j. Точка наз. регулярной, если для любой конечной непрерывной функции j на Sобобщенное решение H_j (х). црини-мает значение j(x₀), то есть

Прочие точки наз. иррегулярными, к ним относятся изолированные точки границы при и острие Лебега при . Как оказалось ( Келлога - Эванса теорема,1933), множество иррегулярных точек имеет внешнюю емкость нуль, т. е. является в нек-ром смысле разреженным. Множество регулярных точек плотно на S.

Для задачи Дирихле строится соответственно и обобщенная функция Грина G, к-рую можно определить, напр., для произвольно фиксированной точки следующим образом:

Обобщенная функция Грина сохраняет нек-рые свойства классич. функции Грина, напр. свойство симметрии

, тогда и только тогда, когда x₀ - регулярная точка границы S(см. [4], [6]).

Важное значение имеют также исследования задачи Дирихле для компактов и устойчивости задачи Дирихле (см. [6], [4]).

Интенсивно развивается изучение потенциалов с другими ядрами, отличными от ядра Е( х, у), и их применений для решения краевых задач (см. Бесселев потенциал. Нелинейный потенциал, Рисса потенциал, а также [3], [11]).

Лит.:[1] Гюнтер Н. М., Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики, М., 1953; [2] Сретенский Л. Н., Теория ньютоновского потенциала, М.- Л., 1946; [3] Ландкоф Н. С., Основы современной теории потенциала, М., 1966; [4] Брело М., Основы классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964; [5] Kellogg О. D., Foundations of potential theory, В., 1929; [6] Келдыш М. В., "Успехи матем. наук", 1941, в. 8, с. 171 - 231; [7] Бицадзе А. В., Уравнения математической физики, М., 1976; [8] его же. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, М., 1966; 19] Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1981; [10] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; [11] Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с итал., М.. 1957; [12] Михлин С. Г., Линейные уравнения в частных производных, М., 1977; [13] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1977. А. И. Прилепко, Е. Д. Соломенцев.