ПОТЕНЦИАЛА ТЕОРИИ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ

-задачи, в к-рых требуется найти форму и плотности притягивающего тела по заданным значениям внешнего (внутреннего) потенциала этого тела (см. Потенциала теория). В другой постановке одна из таких задач состоит в отыскании такого тела, чтобы его внешний объемный потенциал заданной плотности совпадал вне этого тела с заданной гармонич. функцией. Первоначально П. т. о. з. рассматривались в связи с задачами теории фигуры Земли и небесной механики. П. т. о. з. связаны с задачами фигур равновесия вращающейся жидкости и задачами геофизики.

Центральное место в исследовании П. т. о. з. составляют проблемы существования, единственности, устойчивости, а также создание эффективных численных методов их решения. Теоремы существования решений в малом имеются для случая тела, близкого к данному, но при этом имеются значительные трудности в исследовании уравнений, как правило, нелинейных, к к-рым сводятся эти задачи. Критериев существования глобальных решений нет (1983). Во многих случаях существование глобальных решений предполагается заранее, что естественно во многих приложениях, и исследуются проблемы единственности и устойчивости. Одним из основных моментов в исследовании проблемы единственности является выявление дополнительных условий на решения, обеспечивающих их единственность. С проблемой единственности связана проблема устойчивости. Для задач, записанных в виде уравнения 1-го рода, вообще говоря, сколь угодно малым вариациям правой части могут соответствовать конечные вариации решений, т. е. эти задачи относятся к некорректно поставленным задачам. Для того чтобы задача стала корректной, накладывается ряд дополнительных ограничений на решения; при этих ограничениях получаются различные характеристики отклонения решения в зависимости от отклонения правой части.

Ниже сформулированы обратные задачи ньютонова (объемного) потенциала и потенциала простого слоя для уравнения Лапласа в трехмерном евклидовом пространстве , хотя указанные задачи исследуются и в n-мерном (n>2) евклидовом пространстве для потенциалов общих эллиптич. уравнений (см. [7]).

Пусть Т _a,a- 1,2,- односвязные ограниченные области с кусочно гладкими границами S_a;

- ньютонов потенциал;

- потенциал простого слоя, где | х-у| - расстояние между точками х=(x₁, х ₂, х ₃). и у=( у ₁, у ₂, у ₃).в , почти всюду в T_a(S_a). И пусть

где b, g - действительные числа,

Общая внешняя П. т. о. з. состоит в нахождении формы и плотности притягивающего тела по заданным значениям внешнего потенциала Z(x). Для получения условий единственности решения этой задачи она формулируется следующим образом: найти такие условия для областей Т _a и плотностей m_a, z_a, чтобы из равенства внешних потенциалов Z₁(x) и Z₂(x).

(1)

следовало равенство . Если множество состоит из одной компоненты, то условие (1) выполняется, когда Z₁(x)=Z₂(x).для |x|>R, где R - достаточно большое, или когда на границе шара |x|=R задаются данные, обеспечивающие совпадение Z₁(x).и Z₂(x).вне этого шара. В качестве таких данных могут быть выбраны данные Дирихле на всей границе шара либо данные Коши на куске границы шара и т. д. В дальнейшем для простоты считается, что множества

состоят из одной компоненты.

Решение общей внешней П. т. о. з. единственно, если

, а области Т _a контактны, т. е. такие, что для каждого из множеств Т' и Т " существует общий участок S_*(mes S_*0) границ S_a, причем .

П. т. о. з. для ньютоновых потенциалов получается, когда в (1) b=1 и g=0. Пусть Т _a, a=1, 2,- области, звездные относительно общей точки, а функции m_a (у).имеют вид m_a (у).d_av(у), где d_a=const, v>0 и не зависит от r= | у|. Если ньютоновы потенциалы удовлетворяют условию (1) и, кроме того, существует точ-ка такая, что U₁( х ₀)= U₂(x₀), то Т ₁=Т ₂, m₁=m₂.

Если в условиях (1) положить , то получается задача об определении формы притягивающего тела по известным значениям внешнего ньютонова потенциала U(х).заданной плотности. Решение этой задачи единственно в классе областей Т _a, звездных относительно общей точки, в случае заданных плотностей m(y), монотонно неубывающих с ростом |у|.

Если в условиях (1) положить , то получается задача об определении формы притягивающего тела по известным значениям внешнего потенциала простого слоя V(х).заданной плотности z. Для выпуклых тел постоянной плотности решение этой задачи единственно.

Если в условиях (1) положить , то получается задача об определении плотности притягивающего тела по известным значениям внешнего ньютонов потенциала. Решение задачи единственно, если функции m_a(y) имеют вид , где

Общая внутренняя П. т. о. з. состоит в нахождении формы и плотностей притягивающего тела по заданным значениям внутреннего потенциала Z(x). Для получения теорем единственности используется следующая формулировка этой задачи: найти условия для областей Т _a и плотностей m_a, z_a, чтобы из совпадения внутренних потенциалов Z₁(x).и Z₂(x).

Z₁(x) = Z₂(x).для (2)

следовали равенства

Если в условиях (2)., то в классе выпуклых тел переменной положительной плотности решение единственно. Если же в условиях (2).const, то в классе выпуклых тел решение также единственно.

Пусть ищется тело Ттакое, что его внешний ньютонов потенциал U(х; Т ₁,m). данной плотности m(х). равен вне тела T₁ заданной гармонич. функции Н(х). Н(х)..0 при | х|. и H(х).близка в смысле нек-рой функциональной метрики к внешнему ньютонову потенциалу U(х; Т,m). заданного тела Тплотности m. Для односвязных областей Тс гладкой границей Sпри условии решение задачи существует и единственно.

Внутренняя задача ставится аналогично внешней, причем Н(х).является решением неоднородного уравнения Лапласа в конечной области

Ищется тело T₁ такое, что для

В отличие от внешней внутренняя задача имеет, вообще говоря, не единственное решение; число решений определяется уравнением разветвлений.

Плоские П. т. о. з. ( п=2).ставятся аналогично пространственным с учетом соответствующего поведения потенциалов на бесконечности. В связи с этим ряд утверждений, приведенных выше для n=3, видоизменяется. Плоские П. т. о. з. иногда удобно исследовать методами теории функций комплексного переменного и конформных отображений.

Плоская внешняя П. т. о. з. Пусть m=1 - заданная плотность, причем вместо логарифмич. потенциала масс введена его производная ; на комплексной плоскости z=x+iy вне круга К (0, R) ={|z| < R}задана аналитич. ция H(z), H() = 0, особые точки к-рой при ее аналитич. родолжении находятся внутри области . Требуется найти конечную односвязную область Dс жордановой границей, , такую, чтобы H(z)=U(z, D).для |z|> R, где

Решением этой задачи считается функция z(t), отображающая конформно единичный круг |t| < 1 комплексной плоскости tна область Dплоскости z=x+iy и удовлетворяющая условиям z(0)=0, z'(0)>0.

Пусть D - заданная конечная односвязная область с жордановой границей, функция U_a(z)=U(z, D) для . Тогда функция удовлетворяет уравнению

(3) где

Если z(t) является решением уравнения (3), в к-ром U_a(z) заменена указанной выше функцией H(z), причем z(t) однолистна при |t|<1, z(0)=0, z'(0)>0, то H(z)=U(z, D).для |z| > R.

Из уравнения (3) можно получить ряд связей между функцией U_a(z).и функцией z(t). Напр., если внешний потенциал U_a(z) можно аналитически продолжить внутрь Dчерез всю границу дD, то z(t) - аналитич. ция при |t| = l; если

Х ^:^'*> то

Это позволяет иногда решить плоскую П. т. о. з. в конечном виде. Пусть . Тогда соответствующее нелинейное уравнение для z (t).эквивалентно, вообще говоря, нелинейной системе алгебраич. уравнений относительно коэффициентов a₁, . .., a _т. Функция z(t), вообще говоря, не однолистная при |t|<1, находится как решение этой алгебраич. системы уравнений. Класс однолистных в круге |t|<1 решений z(t), удовлетворяющих условиям z(0)=0, z'(0)>0, является решением поставленной П. т. о. з.

Аналогичное исследование можно провести для внешней обратной задачи логарифмич. потенциала простого слоя, а также для внутренних обратных задач логарифмич. потенциалов, причем как для внешних, так и для внутренних П. т. о. з. можно рассматривать переменные плотности.

Лит.:[1] Новиков П., "Докл. АН СССР", 1938, т. 18, № 3, с. 165-68; [2] Тихонов А. Н., там же, 1943, т. 39, № 5, с. 195-98; [3] Сретенский Л. Н., Теория ньютоновского потенциала, М.-Л., 1946; [4] Иванов В. К., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1956, т. 20, №6, с. 793-818; [5] его же, "Докл. АН СССР", 1955, т. 105, № 3, с. 409-11; 1956, т. 106, №4, с. 598-99; [6] Лаврентьев М. М., О некоторых некорректных задачах математической физики, Новосиб., 1962; [7] Прилепко А. И., "Дифференциальные уравнения", 1966, т. 2, № 1, с. 107-24; 1967, т. 3, № 1, с. 30- 44; 1970, т. 6, № 1, с. 27-49; 1972, т. 8, № 1, с. 118-25; его же, "Сиб. матем. ж.", 1965, т. 6, № 6, с. 1332-56; 1971, т. 12, М 3, с. 630-47; № 4, с. 828-36; Л" 6, с. 1341-53; [8] Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., Методы решения некорректных задач, 2 изд., М., 1979. А. И. Прилепко.