Теория волны-пилота

В теоретической физике, теория волны-пилота является первым известным примером теории со скрытыми переменными. Она была представленна Луи де Бройлем в 1927 году. Её более современная версия в интерпретации Бома остаётся спорной попыткой интерпретации квантовой механики как детерминированной теории, в которой такие понятия, как мгновенный коллапс волновой функции и парадокс кота Шредингера находят своё объяснение.

Теория волны-пилота

Теория волны-пилота является одной из нескольких интерпретаций квантовой механики. Она использует тот же математический формализм как другие интерпретации квантовой механики, и, следовательно, она подтверждается текущими экспериментальными доказательствами в той же степени, как и другие интерпретации.

Принципы

Теория волны-пилота является теорией со скрытыми параметрами. Следовательно теория основывается на следующих понятиях:

• реализма (что означает, что ее понятия существуют независимо от наблюдателя);
• детерминизма.

Положение и импульс каждой частицы считаются скрытыми переменными; они определены в любое время, но не известны наблюдателю; начальные условия для частицы также не известны точно, так что с точки зрения наблюдателя, есть неопределенность в состоянии частицы, которая соответствует принципу неопределенности Гейзенберга.

Набору частиц соответствует волна, которая эволюционирует подчиняясь уравнению Шрёдингера. Каждая из частиц следует по детерминированной траектории^[1], которая ориентируется на волновую функцию, полностью, плотность частиц соответствует величине волновой функции. Волновая функция не зависит от частиц и может существовать так же в виде пустой волновой функции.^[2]

Как и большинство интерпретаций квантовой механики, кроме многомировой интерпретации, эта теория нелокальна.

Cледствия

Теория волны-пилота показывает, что есть теория, которая реалистична и детерминирована, и при этом она предсказывает экспериментальные результаты квантовой механики.

Математические основы

Для вывода волны-пилота де Бройля-Бома для электронов, квантовый лагранжиан

$L(t)={\frac{1}{2}}mv^2-(V+Q),$

где Q есть потенциал, связанный с квантовой силой (частица, на которую действует волновая функция), интегрируется вдоль одного пути (по которому электрон на самом деле следует). Это приводит к следующей формуле для пропагатора Бома:

$K^Q(X_1, t_1; X_0, t_0) = \frac{1}{J(t)^ {\frac{1}{2}} } \exp\left[\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t_1}L(t)\,dt\right]$.

Этот пропагатор позволяет отслеживать электрон с течением времени под влиянием квантового потенциала Q.

Вывод уравнения Шрёдингера

Теория волны-пилота основывается на динамике Гамильтона-Якоби^[3], а не на лагранжевой или гамильтоновой динамике. Используя уравнения Гамильтона-Якоби

$H\left(\mathbf{q},{\partial S \over \partial \mathbf{q}},t\right) + {\partial S \over \partial t}\left(\mathbf{q},t\right) = 0$

можно получить уравнение Шредингера.

Рассмотрим классическую частицу — положение, которой неизвестно. Мы должны рассматривать её статистически, так что только плотность вероятности ρ(х, t) известна. Вероятность должна сохраняться, то есть $\int\rho\,d^3x = 1$ для каждого t. Поэтому она должна удовлетворять уравнению непрерывности

$\partial \rho / \partial t = - (\nabla v) \quad(1)$

где v(x, t) есть скорость частицы.

В формулировке Гамильтона-Якоби классической механики, скорость дается $v(x,t) = \frac{\nabla S(x,t)}{m}$ где S(x, t) является решением уравнения Гамильтона-Якоби

$- \frac{\partial S}{\partial t} = \frac{\left(\nabla S\right)^2}{2m} + V \quad(2)$

Мы можем объединить уравнения (1) и (2) в единую систему уравнений путём введения комплексной функции $\psi = \sqrt{\rho}e^\frac{iS}{\hbar}$. Тогда эти два уравнения эквивалентны

$i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \left( - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 +V-Q \right)\psi \quad$ with $\quad Q = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\nabla^2 \sqrt{\rho}}{\sqrt{\rho}}$

Это зависящее от времени уравнение Шредингера с дополнительным потенциалом, квантовым потенциалом Q, который является потенциалом квантовой силы, которая пропорциональна (в приближении) кривизне амплитуды волновой функции.

Пустые волновые функции

Люсьен Харди^[4] и Дж. С. Белл^[2] подчеркивают, что в картине квантовой механики де Бройля-Бома могут существовать пустые волны, которые описываются волновыми функциями, распространяющимися в пространстве и времени, но не несущие энергию или импульс,^[5] и не привязанные к частице. Эта же концепция была названа волной-призраком (или «Gespensterfelder», полями-призраками) Альбертом Эйнштейном.^[6]

Понятие пустой волновой функции обсуждалось подробно в литературе.^[7][8][9] В многомировой интерпретации квантовой механики нет необходимости вводить понятие пустой волновой функции.^[2]

Примечания

1. ↑ Подверженной непредсказуемым возмущениям, а также с неизвестным точно начальным состоянием частицы [1]
2. ↑ ^{1 2 3} J. S. Bell: Six possible worlds of quantum mechanics, Foundations of Physics, vol. 22, no. 10, Part I. Invited Papers Dedicated To Louis De Broglie, 1992, pp. 1201-1215, DOI: 10.1007/BF01889711, p. 1212
3. ↑ Towler, Mike, http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~mdt26/pilot_waves.html
4. ↑ Lucien Hardy: On the existence of empty waves in quantum theory, Physics Letters A, vol. 167, no. 1, 6 July 1992, pp. 11-16, DOI: 10.1016/0375-9601(92)90618-V (abstract)
5. ↑ Franco Selleri, Alwyn Van der Merwe: Quantum paradoxes and physical reality, p. 86
6. ↑ Franco Selleri, Alwyn Van der Merwe: Quantum paradoxes and physical reality, Fundamental Theories of Physics, Kluwer Academic, 1990, ISBN 0-7923-0253-2, p. 85-86
7. ↑ Marek Zukowski: «On the existence of empty waves in quantum theory»: a comment, Physics Letters A, vol. 175, no. 3-4, 12 April 1993, pp. 257-258, DOI: 10.1016/0375-9601(93)90837-P (abstract)
8. ↑ H. D. Zeh: Why Bohm’s Quantum Theory?, Found. Phys. Lett. 12 (1999) pp. 197-200, quant-ph/9812059v2
9. ↑ L. Vaidman: The Reality in Bohmian Quantum Mechanics or Can You Kill with an Empty Wave Bullet?, quant-ph/0312227 (submitted on 31 Dec 2003)