Теория упругости
| Механика сплошных сред | ||||||||||
 |
||||||||||
Сплошная среда
|
||||||||||
Тео́рия упру́гости — раздел механики сплошных сред, изучающий деформации упругих твёрдых тел, их поведение при статических и динамических нагрузках.
Главная задача теории упругости — выяснить, каковы будут деформации тела и как они будут меняться со временем при заданных внешних воздействиях. Основной системой уравнений для решения этой задачи являются три уравнения равновесия. Они содержат шесть неизвестных компонент симметричного тензора напряжений. Симметричность тензора напряжений постулируется гипотезой парности касательных напряжений. Для замыкания системы используются так называемые уравнения совместности деформаций. Действительно, если тело в процессе деформации остается сплошным, значит компоненты тензора деформации не могут быть независимыми. Математически это отражает простой факт — шесть компонент деформации, составляющие симметричный тензор деформации, зависят от трёх функций — составляющих перемещения точки твёрдого тела (симметричные соотношения Коши). Шесть уравнений совместности деформаций и уравнения обобщённого закона Гука замыкают задачу теории упругости. Различают три варианта постановок задач теории упругости.
1. Постановка задач теории упругости в перемещениях. Основные неизвестные - три компоненты вектора перемещений (в дальнейшем - перемещения). Они должны удовлетворять трем уравнениям равновесия, записанным в перемещениях (уравнения Навье). В каждой неособенной точке поверхности тела перемещения должны удовлетворять трем граничным условиям. Граничные условия могут быть сформулированы в трех вариантах:
- заданы перемещения,
- заданы комбинации напряжений, записанные через нормальные и касательные производные от перемещений,
- заданы комбинации напряжений и перемещений, записанные через нормальные и касательные производные от перемещений и через сами перемещения.
По известным перемещениям деформации определяются дифференцированием (симметричные соотношения Коши). Найденные по перемещениям деформации тождественно удовлетворяют шести уравнениям совместности деформаций По известным перемещениям можно найти дифференцированием компоненты тензора поворотов и псевдовектора поворотов (антисимметричные соотношения Коши). По известным деформациям напряжения определяются алгебраически (уравнения закона Гука).
2. Постановка задач теории упругости в напряжениях. Основные неизвестные - шесть компонент симметричного тензора напряжений. Они должны удовлетворять трем уравнениям равновесия, записанным в напряжениях, и шести уравнениям совместности деформаций, записанным с помощью уравнений закона Гука в напряжениях. Деформации определяются алгебраически по найденным напряжениям из обратных уравнений закона Гука. Перемещения интегрируются в квадратурах по найденным деформациям с помощью формул Чезаро, причем интегрируемость обеспечена, так как удовлетворены уравнения совместности деформаций. Для упрощения постановки напряжения можно выразить через тензорный потенциал так, что уравнения равновесия будут удовлетворяться тождественно, а уравнения совместности распадутся на отдельные уравнения для каждой из компонент тензора-потенциала напряжений. Удерживая те или иные компоненты симметричного тензора-потенциала напряжений, а остальные полагая нулю, можно получить как частные случаи известные постановки Максвелла, Моррера, Эри.
3. Постановка задач теории упругости в смешанном виде.
Теория упругости является фундаментом инженерного дела и архитектуры. Кроме очевидных статических задач (устойчивость зданий и других сооружений, прочность транспортных средств), теория упругости привлекается и для решения динамических задач (например, устойчивость конструкций при землетрясениях и под действием мощных звуковых волн; виброустойчивость различных аппаратов и установок). Теория упругости здесь пересекается с материаловедением и служит одним из опорных пунктов при поиске новых материалов. Теория упругости важна также и для геофизики.