Интерполяция (матем.)

Интерполяция (матем.)
О функции, см.: Интерполянт.

Интерполя́ция — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто приходится оперировать наборами значений, полученных экспериментальным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией кривой. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

Следует также упомянуть и совершенно другую разновидность математической интерполяции, известную под названием «интерполяция операторов». К классическим работам по интерполяции операторов относятся теорема Рисса-Торина (Riesz-Thorin theorem) и теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz theorem), являющиеся основой для множества других работ.

Содержание

Определения

Рассмотрим систему несовпадающих точек ~x_i (i\in{0,1,\dots,N}) из некоторой области ~D. Пусть значения функции ~f известны только в этих точках:

y_i = f(x_i),\quad i=1,\ldots,N.

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции ~F из заданного класса функций, что

F(x_i) = y_i,\quad i=1,\ldots,N.
  • Точки ~x_i называют узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной сеткой.
  • Пары ~(x_i,y_i) называют точками данных или базовыми точками.
  • Разность между «соседними» значениями ~\Delta x_i=x_i-x_{i-1} — шагом интерполяционной сетки. Он может быть как переменным так и постоянным.
  • Функцию ~F(x) — интерполирующей функцией или интерполянтом.

Пример

Точки данных (из приведённой таблицы), в декартовой системе координат.

Пусть мы имеем табличную функцию, наподобие описанной ниже, которая для нескольких значений ~x определяет соответствующие значения ~f:

~x ~f(x)
0 0
1 0,8415
2 0,9093
3 0,1411
4 −0,7568
5 −0,9589
6 −0,2794

Интерполяция помогает нам узнать какое значение может иметь такая функция в точке, отличной от указанных, например, при x = 2,5?

К настоящему времени существует множество различных способов интерполяции. Выбор наиболее подходящего алгоритма зависит от ответов на вопросы: как точен выбираемый метод, каковы затраты на его использование, насколько гладкой является интерполяционная функция, какого количества точек данных она требует и т. п.

Способы интерполяции

Интерполяция полиномами

На практике чаще всего применяют интерполяцию полиномами. Это связано прежде всего с тем, что полиномы легко вычислять, легко аналитически находить их производные и множество полиномов плотно в пространстве непрерывных функций (теорема Вейерштрасса).

Обратное интерполирование (вычисление x при заданном y)

Интерполяция функции нескольких переменных

Другие способы интерполяции

Смежные концепции

  • Экстраполяция — методы нахождения точек за пределами заданного интервала (продление кривой)
  • Аппроксимация — методы построения приближённых кривых

См. также



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "Интерполяция (матем.)" в других словарях:

  • Интерполяция (матем.) — Интерполяция в математике и статистике, отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным её значениям. Например, отыскание значений функции f (x) в точках х, лежащих между точками (узлами И.) x0 < x1 < ... < xn, по… …   Большая советская энциклопедия

  • интерполяция — [тэ], и; ж. [лат. interpolatio изменение, искажение] 1. Книжн. Вставка в текст слов или фраз, отсутствовавших в оригинале, сделанная переводчиком или переписчиком. 2. Матем. Нахождение по ряду данных значений функции промежуточных её значений… …   Энциклопедический словарь

  • интерполяция — интерпол яция, и (матем.; вставка) …   Русский орфографический словарь

  • интерполяция — (тэ) и; ж. (лат. interpolatio изменение, искажение) 1) книжн. Вставка в текст слов или фраз, отсутствовавших в оригинале, сделанная переводчиком или переписчиком. 2) матем. Нахождение по ряду данных значений функции промежуточных её значений… …   Словарь многих выражений

  • Рациональная интерполяция — (интерполяция рациональными функциями)  представление интерполируемой функции (точнее говоря, ряда табличных значений) в виде отношения двух полиномов. Ряд функций, плохо интерполируемых полиномиальными методами, удаётся хорошо приблизить… …   Википедия

  • ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ — интерполяция, в простейшем, классическом смысле конструктивное восстановление (быть может, приближенное) функции определенного класса по известным ее значениям или значениям ее производных в данных точках. Пусть даны n+l точек сегмента D=[ а, b] …   Математическая энциклопедия

  • інтерполяція — интерполяция interpolation Interpolation, Einschaltung 1) матем. Спосіб, за допомогою якого за таблицею, що містить деякі числові дані, можна знайти проміжні результати, яких нема безпосередньо в таблиці. Напр., визначення функції f(x) для… …   Гірничий енциклопедичний словник

  • Бесов, Олег Владимирович — Олег Владимирович Бесов Дата рождения: 27 мая 1933(1933 05 27) (79 лет) Место рождения: Москва, РСФСР, СССР Страна …   Википедия

  • Бесов, Олег — Олег Владимирович Бесов Дата рождения: 27 мая 1933 Место рождения: Москва, РСФСР, СССР Гражданство:  СССР …   Википедия

  • Бесов — Бесов, Олег Владимирович Олег Владимирович Бесов Дата рождения: 27 мая 1933(1933 05 27) (76 лет) Место рождения: Москва, РСФСР, СССР Гражданство …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»