Звезда Ходжа

Звезда́ Хо́джа — важный линейный оператор из пространства p-векторов в пространство n-p-форм. Метрический тензор задаёт канонический изоморфизм между пространствами p-форм и p-векторов, поэтому обычно звездой Ходжа называют оператор из пространства дифференциальных форм размерности q в пространство форм размерности n-q.

$*\colon \Lambda^q(T^*M) \to \Lambda^{n-q}(T^*M)$

Этот оператор был введён Вильямом Ходжем.

Определение

Вспомогательные определения

Определим форму объёма

$\Omega=f(X)dX^0\wedge\ldots\wedge dX^{n-1}$

$\Omega_{M_1\ldots M_n}=f(X)\varepsilon_{M_1\ldots M_n}$

где $f(X):M\to \mathbb{R}$ — неотрицательный скаляр на многообразии $M$, а $\varepsilon_{M_1\ldots M_n}$ — полностью антисимметричный символ. $\varepsilon_{0\ldots n-1}=+1$. Даже в отсутствие метрики, если $f(X)>0$, можно определить контравариантые компоненты формы объёма.

$\check{\Omega}=\frac{1}{f(X)}\frac{\partial}{\partial{X^0}}\wedge\cdots\wedge\frac{\partial}{\partial{}{X^{n-1}}}$

$\check{\Omega}^{M_1\ldots M_n}=f^{-1}(X)\varepsilon^{M_1\ldots M_n}$

здесь антисимметричный символ $\varepsilon^{M_1\ldots M_n}$ совпадает $\varepsilon_{M_1\ldots M_n}$.

В присутствии метрики $\Omega$ с поднятыми индексами может отличаться от $\check{\Omega}$ на знак: $\Omega=\sigma\check{\Omega}$. Здесь и далее $\sigma=\sgn\det(g_{mk})$

Введём операцию антисимметризации:

$A_{[m_1\ldots m_q]}=\frac{1}{q!}\sum_{\sigma(m_1\ldots m_q)}(-1)^{\sgn(m_1\ldots m_q)}A_{\sigma(m_1\ldots m_q)}$. Суммирование ведётся по всем перестановкам $\sigma(m_1\ldots m_q)$ индексов, заключённых в квадратные скобки, с учётом их чётности $\sgn(\sigma)$. Аналогично определяется антисимметризация верхних индексов; антисимметризовать можно только по группе индексов одного типа. Примеры: $A_{k[lm]}=\frac{1}{2!}(A_{klm}-A_{kml})$; $A_k^{[l}B_p^{m]}=\frac{1}{2!}(A_k^l B_p^m - A_k^m B_p^l)$.

Разберёмся теперь с операцией свёртки. При свёртке набора антисимметричных индексов удобно ввести следующее обозначение:

$A^{A\ldots\lfloor K_1\ldots K_k\rfloor B\ldots}{}_{C\ldots\lfloor K_1\ldots K_k\rfloor D\ldots}=\frac{1}{k!}A^{A\ldots K_1\ldots K_k B\ldots}{}_{C\ldots K_1\ldots K_k D\ldots}$.

Если тензор антисимметричен как по верхним, так и по нижним сворачиваемым индексам, можно вести суммирование по индексам, заключённым в скобки $\lfloor\;\rfloor$ только по упорядоченным наборам не деля на $k!$, это связано с тем, что разные наборы индексов $K_1\ldots K_k$, отличающиеся лишь порядком индексов дают одинаковый вклад в сумму.

Определим теперь тензоры:

$(A,B)^{(k)}_{M_{k+1}\ldots M_q}{}^{N_{k+1}\ldots N_p}=A_{\lfloor K_1\ldots K_k\rfloor M_{k+1}\ldots M_q}{}^{\lfloor K_1\ldots K_k \rfloor N_{k+1}\ldots N_p}$

$(A,B)^{\underline{(k)}}_{M_1\ldots M_{q-k}}{}^{N_1\ldots N_{p-k}}=A_{M_1\ldots M_{q-k}\lfloor K_1\ldots K_k \rfloor}{}^{N_1\ldots N_{p-k}\lfloor K_1\ldots K_k \rfloor}$

Индекс (k) указывает число индексов, по которым проводилась свёртка. Там где это не может привести к неоднозначности, (k) будет опускаться. Вышеприведённые тензоры могут отличаться (а могут и не отличаться) только на знак.

Общее определение звезды Ходжа

Используя форму объёма $\Omega$ и поливектор $\check{\Omega}$ можно ввести операцию $*$, превращающую поливектор $B$ степени $p$ в дифференциальную форму $*B$ степени $n-p$, и обратную операцию $*^{-1}$, превращающую форму $A$ степени $q$ в поливектор $*^{-1}A$ степени $n-q$

$*B=(\Omega,B)^{(p)}$

$*^{-1}A=(A,\check{\Omega})^{\underline{(q)}}$

Эта операция называется звездой Ходжа или дуальностью Ходжа. В компонентах она выглядит следующим образом:

$(*B)_{m_{q+1}\ldots m_n}=\frac{f(X)}{q!}B^{m_1\ldots m_q}\varepsilon_{m_1\ldots m_n}$

Поскольку $*^{-1}*B=B$ и $**^{-1}A=A$, то мы установили взаимно-однозначное соответствие между дифференциальными формами степени q и поливекторами степени n-q

Помимо операторов $*$ и $*^{-1}$ введём пару операторов: $\check{*}$ и $\check{*}^{-1}$, отличающихся от них знаком.

$\check{*}B=(\Omega,B)^{\underline{(p)}}$

$\check{*}^{-1}A=(A,\check{\Omega})^{(q)}$

Звезда Ходжа в присутствии метрики

Пусть на нашем многообразии размерности n задана метрика $g_{mk}$. Обозначим $g=\det(g_{mk})$.

Элементом объёма или формой объёма порождённой метрикой $g_{mk}$ называется форма $\Omega=\sqrt{|g|}dX^0\wedge\ldots\wedge dX^{n-1}=\sqrt{|g|}d^n X$ В компонентах:

$\Omega_{m_1\ldots m_n}=\sqrt{|g|}\varepsilon_{m_1\ldots m_n}$

$\Omega^{m_1\ldots m_n}=\frac{\sqrt{|g|}}{g}\varepsilon^{m_1\ldots m_n}=\frac{\sgn(g)}{\sqrt{|g|}}\varepsilon^{m_1\ldots m_n}$

Поскольку у нас есть метрика, мы можем устроить канонический изоморфизм между поливекторами и дифференциальными формами:

$A_{m_1\ldots m_n}=A^{l_1\ldots l_n}g_{m_1 l_1}\cdots g_{m_n l_n}$

Поэтому мы можем установить взаимно-однозначное соответствие между q-формами и (n-q)-формами. $(*A)_{m_{q+1}\ldots m_n}=\frac{1}{q!}\Omega_{m_1\ldots m_n}A_{l_1\ldots l_q}g^{m_1 l_1}\cdots g^{m_q l_q}$

Дополнительные операторы

На поливекторах можно ввести оператор взятия дивергенции, понижающий степень поливектора на 1:

$\delta=*^{-1}d*$

$(\delta A)^{M_1\ldots M_{q-1}}=\frac{1}{f(X)}\partial_{M_q}(f(X)A^{M_1\ldots M_q})$

В присутствие метрики оператор дивергенции $\delta$ выражается через оператор ковариантной производной $\nabla$, определённый с помощью согласованной с метрикой симметричной связности:

$(\delta A)^{M_1\ldots M_{q-1}}=(\nabla,A)^{\underline{(1)}M_1\ldots M_{q-1}}=\nabla_{M_q}A^{M_1\ldots M_q}=\frac{1}{\sqrt{|g|}}\partial_{M_q}(\sqrt{|g|}A^{M_1\ldots M_q})$

Иногда операцию $d$ (внешнюю производную) называют градиентом дифференциальных форм, а операцию $\delta$ — дивергенцией. Для 1-формы операция $\delta$ задаёт обычную дивергенцию (в присутствии метрики, дифференциальные формы и поливектора отождествляются с помощью канонического изоморфизма)

Лапласиан $\Delta$ от $q$-формы $A$ определяется формулой:

$\Delta A=(-1)^q(\delta d + d\delta)A$

Для скаляра (0-формы) лапласиан — оператор Лапласа-Бельтрами:

$\Delta\varphi=\nabla_M\nabla^M\varphi=\frac{1}{\sqrt{|g|}}\partial_M\sqrt{|g|}g^{MN}\partial_N\varphi$

Для скаляра $\Delta=\nabla_M\nabla^M$. Если $q>0$, то для произвольной метрики в $\Delta$ появляются дополнительные члены линейные по кривизне. Так в случае $q=1$

$(\Delta A)_K=\nabla_M\nabla^M A_K - R_K{}^M A_M$

где $R_K{}^M$ — тензор Риччи, построенный по симметричной связности, согласованной с метрикой.

Свойства звёздочки Ходжа

Источники

• Лекции М. Г. Иванова по курсу «Геометрические методы в классической теории поля». http://theorphys.mipt.ru/courses/geomm.html