Оператор Лапласа-Бельтрами

Оператор Лапласа-Бельтрами

Опера́тор Лапла́са—Бельтра́ми (называется иногда оператором Бельтра́ми—Лапла́са или просто оператором Бельтра́ми) — дифференциальный оператор второго порядка, действующий в пространстве гладких (или аналитических) функций на римановом многообразии M.

В координатах $x_1, \ldots, x_n,$ где n = dimM, оператор Лапласа-Бельтрами задается следующим образом. Пусть (g_ij) — матрица метрического тензора риманова многообразия, (g^ij) — обратная матрица и g = det(g_ij), тогда оператор Лапласа-Бельтрами имеет вид

$\frac{-1}{\sqrt{g}}\, \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \biggl(\sum_{j=1}^{n} g^{ij}\sqrt{g}\,\frac{\partial}{\partial x_j}\biggr). \qquad (*)$

Примеры

• В случае, когда M — область в евклидовом пространстве со стандартной метрикой (g_ij) = (δ_ij) — единичная матрица, оператор Лапласа-Бельтрами (*) превращается (с точностью до знака) в оператор Лапласа.

• Пусть dimM = 2 и метрический тензор имеет вид $ds^2= E(x,y)\,dx^2 + 2F(x,y)\,dxdy + G(x,y)\,dy^2,$ тогда формула (*) принимает вид: $\frac{\partial}{\partial x} \biggl(\frac{F\frac{\partial}{\partial y}-G\frac{\partial}{\partial x}}{\sqrt{EG-F^2}}\biggr) + \frac{\partial}{\partial y} \biggl(\frac{F\frac{\partial}{\partial x}-E\frac{\partial}{\partial y}}{\sqrt{EG-F^2}}\biggr). \qquad (**)$

• Дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка Lf = 0, где оператор L задан формулой (**), разрешимо, если функции E,F,G аналитические или достаточно гладкие. Этот факт используется для доказательства существования локальных изотермических (конформных) координат на поверхности M, т.е. доказательства того, что каждое двумерное риманово многообразие локально конформно эквивалентно евклидовой плоскости.^[1]

Литература

• Розенблюм Г. В., Соломяк М. З., Шубин М. А. Спектральная теория дифференциальных операторов, — Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 64, ВИНИТИ, М., 1989.
• Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье, — М., Мир, 1984.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), — Любое издание.

Примечания

1. ↑ Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия (методы и приложения), гл. 2, параграф 13.