Единичная функция Хевисайда

Единичная функция Хевисайда

Функция Хевисайда, единичная ступенчатая функция, ступенька положения — специальная математическая функция, чьё значение равно нулю для отрицательных аргументов и единице для положительных аргументов:

$H(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \displaystyle\frac{1}{2}, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$

Чаще всего неважно, какое значение функция принимает в нуле (H(0)).

Функция широко используется в математическом аппарате теории управления и обработке сигналов для представления сигналов, включающихся в определённый момент и остающихся включёнными постоянно. Названа в честь Оливера Хевисайда.

Функция Хевисайда является первообразной функцией для дельта-функции Дирака, H' = δ, это также можно записать как:

$H(x) = \int\limits_{-\infty}^x\!\delta(t)\,dt$

хотя это выражение не является математически точным.

Дискретная форма

Можно определить дискретную функцию Хевисайда как функцию от дискретного аргумента n:

$H[n]=\begin{cases} 0, & n < 0; \\ 1, & n \geqslant 0, \end{cases}$

где n — целое число.

Дискретный единичный импульс является первой разностью дискретной функции Хевисайда:

δ[n] = H[n] − H[n − 1].

Аналитические формы

Для более удобного использования функцию Хевисайда можно аппроксимировать с помощью непрерывной функции:

$H(x) \approx \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\,\mathrm{th}\,kx = \frac{1}{1+e^{-2kx}},$

где большему k соответствует более крутой подъём функции в точке x = 0. Если принять H(0) = 1 / 2, уравнение можно записать в предельной форме:

Запись

Часто используется и бывает полезной интегральная форма записи единичной функции:

$H(x)=- \lim_{ \varepsilon \to 0^+}\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{-\infty}^\infty\limits\!\frac{1}{\tau+i\varepsilon}e^{-ix\tau}\,d\tau$

H(0)

Значение функции в нуле может быть задано как H(0) = 0, H(0) = 1 / 2 или H(0) = 1. H(0) = 1 / 2 — наиболее часто встречающийся случай, ввиду возрастания симметрии функции и связи её с функцией знака:

$H(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \displaystyle\frac{1}{2}, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$

$H(x) = \frac{1}{2} \left ( 1 + \sgn(x) \right )$

Значение в нуле может явно указываться в записи функции:

$H_n(x) = \begin{cases} 0, & x < 0; \\ n, & x = 0; \\ 1, & x > 0. \end{cases}$

$H(x)=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{2}(1+\,\mathrm{th}\, kx)=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{1}{1+e^{-2kx}}.$

Существует несколько других аппроксимаций непрерывными функциями:

$H(x) = \lim_{k \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\,\mathrm{arctg}\,kx \right) \$

$H(x) = \lim_{k \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\,\mathrm{erf}\,(kx) \right).$

Преобразование Фурье

Доказано, что производная функции Хевисайда равна дельта-функции. То есть функция Хевисайда — первообразная дельта-функции:

$H(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}\! \delta(t)\,dt$.

Следовательно, применив преобразование Фурье к первообразной дельта-функции $~H(t)$, получим её изображение вида:

$\frac{1}{2 \pi i\omega}+\frac{1}{2}\delta(\omega),$

то есть:

$H(t) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\! \left(\frac{1}{2 \pi i\omega}+\frac{1}{2}\delta(\omega)\right) e^{i\omega t}\, d\omega$

(второй член — соответствующий нулевой частоте в разложении — описывает постоянное смещение функции Хевисайда вверх; без него получилась бы нечетная функция).

См. также

• Прямоугольная функция
• Дельта-функция
• Переходная функция