Действие группы на множестве

Говорят, что группа G действует на множестве M, если задан гомоморфизм $\Phi:G\to S(M)$ из группы G в группу S(M) всех перестановок множества M. Для краткости (Φ(g))(m) часто записывают как gm или g.m.

Другими словами, группа G действует на множестве M, если задано отображение $G\times M\to M$. обозначаемое (g,m) = gm, такое что

1. (gh)m = g(hm) для всех $g,\;h\in G$, $m\in M$ и
2. em = m, где e есть единица G.

Типы действий

• Свободное, если для любых различных $g,\;h\in G$ и любого $m\in M$ выполняется $gm\ne hm$.
• Транзитивное если для любых $m,\;n\in M$ существует $g\in G$ такой, что gm = n. Другими словами, действие транзитивно, если Gm = M для любого элемента $m\in M$.
• Эффективное, если для любых $g,\;h\in G$ существует $m\in M$ такой, что $gm\ne hm$.

В случае, когда группе и множестве задана дополнительно топология, то действие обычно предпологается непрерывным.

Орбиты

Подмножество

$Gm=\{gm\mid g\in G\}\subset M$

называется орбитой элемента $m\in M$.

Действие группы G на множестве M определяет на нём отношение эквивалентности

$\forall n,\;m\in M\;(n\sim_G m)\Longleftrightarrow(\exists g\in G\;gn=m)\Longleftrightarrow(Gn=Gm).$

При этом классами эквивалентности являются орбиты элементов. Поэтому, если общее число классов эквивалентности равно k, то

$M=Gm_1\sqcup Gm_2\sqcup\ldots\sqcup Gm_k,$

где $m_1,\;m_2,\;\ldots,\;m_k\in M$ попарно неэквивалентны. Для транзитивного действия k = 1.

Стабилизаторы

Подмножество

$G_m=\{g\in G\mid gm=m\}\subset G$

является подгруппой группы G и называется стабилизатором или стационарной подгруппой элемента $m\in M$.

Стабилизаторы элементов одной орбиты сопряжены, то есть если $n\sim_G m$, то найдется такой элемент $g\in G$, что

G_m = gG_ng ^{− 1}.

Количество элементов в орбите

| Gm | = [G:G_m], G_m — стбилизатор элемента m и [G:G_m] — индекс подгруппы $G_m\subset G$, в случае конечных групп равен $\frac{|G|}{|G_m|}$.

Если $M=Gm_1\sqcup Gm_2\sqcup\ldots\sqcup Gm_k$, то

$|M|=\sum_{t=1}^k[G:G_{m_t}]$ — формула разложения на орбиты.

Эта формула также влечёт следующие тождества:

1. $\forall m\in M\;\sum_{n\in Gm}|G_n|=|G|;$
2. $\sum_{m\in M}|G_m|=k|G|;$
3. лемма Бёрнсайда.

Примеры действий

Действия на себе

Слева

Действие на себе слева является наиболее простым примером действия, в этом случае, M = G и гомоморфизм $\Phi:G\to S(G)$ задан как (Φ(g))(h) = gh.

Справа

Аналогично определяется действие на себе справа, (Φ(g))(h) = hg ^{− 1}.

Слева и справа

Эти два действия являются действиями подгрупп прямого произведения $G\times G$ на M = G с гомоморфизмом $\Phi:G\times G\to S(G)$ заданым как $(\Phi(g_1,\;g_2))(h)=g_1hg_2^{-1}$.

Сопряжениями

Пусть M = G и гомоморфизм $\Phi:G\to S(G)$ задан как (Φ(g))(h) = ghg ^{− 1}. При этом для каждого элемента $h\in G$ стабилизатор G_h совпадает с централизатором C(h):

$G_h=\{g\in G\mid ghg^{-1}=h\}=\{g\in G\mid gh=hg\}=C(h).$

Например, для элемента h из центра группы G (то есть $h\in Z(G)$) имеем C(m) = G и G_h = G.

Литература

• Винберг, Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002. — ISBN 5-88688-0607.
• Кострикин, А. И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0489-6.