- Бесконечно большая величина
-
Бесконечно малая величина — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.
Бесконечно большая величина — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.
Содержание
Исчисление бесконечно малых и больших
Исчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.
Бесконечно малая
Последовательность an называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.
Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x0, если .
Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .
Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то f(x) − a = α(x), .
Бесконечно большая величина
Последовательность an называется бесконечно большой, если .
Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x0, если .
Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .
Во всех случаях бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция xsinx не является бесконечно большой при .
Свойства бесконечно малых и бесконечно больших
- Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.
- Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
- Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
- Если an — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то — бесконечно большая последовательность.
Сравнение бесконечно малых величин
Как сравнивать бесконечно малые величины?
Отношение бесконечно малых величин образует так называемую неопределённость .Определения
Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины α(x) и β(x) (либо, что не суть важно для определения, бесконечно малые последовательности).
- Если , то β — бесконечно малая высшего порядка малости, чем α. Обозначают β = o(α).
- Если , то β — бесконечно малая низшего порядка малости, чем α. Соответственно α = o(β).
- Если (предел конечен и не равен 0), то α и β являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости.
Это обозначается как β = O(α) или α = O(β) (в силу симметричности данного отношения).
- Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина β имеет m-й порядок малости относительно бесконечно малой α.
Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.
Примеры сравнения
- При величина x5 имеет высший порядок малости относительно x3, так как С другой стороны, x3 имеет низший порядок малости относительно x5, так как
- С использованием О-символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде x5 = o(x3).
- то есть при функции f(x) = 2x2 + 6x и g(x) = x являются бесконечно малыми величинами одного порядка.
- В данном случае справедливы записи 2x2 + 6x = O(x) и x = O(2x2 + 6x).
- При бесконечно малая величина 2x3 имеет третий порядок малости относительно x, поскольку бесконечно малая 0,7x2 — второй порядок, бесконечно малая — порядок 0,5.
Эквивалентные величины
Определение
Если , то бесконечно малые величины α и β называются эквивалентными ().
Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.
При справедливы следующие соотношения эквивалентности: , , .Теорема
- Предел частного (отношения) двух бесконечно малых величин не изменится, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной величиной.
Данная теорема имеет прикладное значение при нахождении пределов (см. пример).
Пример использования
- Найти
- Заменяя sin2x эквивалентной величиной 2x, получаем
Исторический очерк
Понятие «бесконечно малое» обсуждалось ещё в античные времена в связи с концепцией неделимых атомов, однако в классическую математику не вошло. Вновь оно возродилось с появлением в XVI веке «метода неделимых» — разбиения исследуемой фигуры на бесконечно малые сечения.
В XVII веке произошла алгебраизация исчисления бесконечно малых. Они стали определяться как числовые величины, которые меньше всякой конечной (ненулевой) величины и всё же не равны нулю. Искусство анализа заключалось в составлении соотношения, содержащего бесконечно малые (дифференциалы), и затем — в его интегрировании.
Математики старой школы подвергли концепцию бесконечно малых резкой критике. Мишель Ролль писал, что новое исчисление есть «набор гениальных ошибок»; Вольтер ядовито заметил, что это исчисление представляет собой искусство вычислять и точно измерять вещи, существование которых не может быть доказано. Даже Гюйгенс признавался, что не понимает смысла дифференциалов высших порядков.
Споры в Парижской Академии наук по вопросам обоснования анализа приобрели настолько скандальный характер, что Академия однажды вообще запретила своим членам высказываться на эту тему (в основном это касалось Ролля и Вариньона). В 1706 году Ролль публично снял свои возражения, однако дискуссии продолжались.
В 1734 году известный английский философ, епископ Джордж Беркли выпустил нашумевший памфлет, известный под сокращенным названием «Аналист». Полное его название: «Аналист или рассуждение, обращенное к неверующему математику, где исследуется, более ли ясно воспринимаются или более ли очевидно выводятся предмет, принципы и умозаключения современного анализа, чем религиозные таинства и догматы веры».
«Аналист» содержал остроумную и во многом справедливую критику исчисления бесконечно малых. Метод анализа Беркли считал несогласным с логикой и писал, что, «как бы он ни был полезен, его можно рассматривать только как некую догадку; ловкую сноровку, искусство или скорее ухищрение, но не как метод научного доказательства». Цитируя фразу Ньютона о приращении текущих величин «в самом начале их зарождения или исчезновения», Беркли иронизирует: «это ни конечные величины, ни бесконечно малые, ни даже ничто. Не могли ли бы мы их назвать призраками почивших величин?… И как вообще можно говорить об отношении между вещами, не имеющими величины?.. Тот, кто может переварить вторую или третью флюксию [производную], вторую или третью разность, не должен, как мне кажется, придираться к чему-либо в богословии».
Невозможно, пишет Беркли, представить себе мгновенную скорость, то есть скорость в данное мгновение и в данной точке, ибо понятие движения включает понятия о (конечных ненулевых) пространстве и времени.
Как же с помощью анализа получаются правильные результаты? Беркли пришел к мысли, что это объясняется наличием в аналитических выводах взаимокомпенсации нескольких ошибок, и проиллюстрировал это на примере параболы. Занятно, что некоторые крупные математики (например, Лагранж) согласились с ним.
Сложилась парадоксальная ситуация, когда строгость и плодотворность в математике мешали одна другой. Несмотря на использование незаконных действий с плохо определёнными понятиями, число прямых ошибок было на удивление малым — выручала интуиция. И всё же весь XVIII век математический анализ бурно развивался, не имея по существу никакого обоснования. Эффективность его была поразительна и говорила сама за себя, но смысл дифференциала по-прежнему был неясен. Особенно часто путали бесконечно малое приращение функции и его линейную часть.
В течение всего XVIII века предпринимались грандиозные усилия для исправления положения, причём в них участвовали лучшие математики столетия, однако убедительно построить фундамент анализа удалось только Коши в начале XIX века. Он строго определил базовые понятия — предел, сходимость, непрерывность, дифференциал и др., после чего актуальные бесконечно малые исчезли из науки. Некоторые оставшиеся тонкости разъяснил позднее Вейерштрасс.
Как иронию судьбы можно рассматривать появление в середине XX века нестандартного анализа, который доказал, что первоначальная точка зрения — актуальные бесконечно малые — также непротиворечива и могла бы быть положена в основу анализа.
См. также
Wikimedia Foundation. 2010.