- Круг сходимости
-
Круг сходимости степенного ряда
— круг вида
,
,
в котором ряд абсолютно сходится, а вне его, при
, расходится. Иными словами, круг сходимости степенного ряда есть внутренность множества точек сходимости ряда. Радиус круга сходимости называется радиусом сходимости ряда. Круг сходимости может вырождаться в пустое множество, когда
, и может совпадать со всей плоскостью переменного
, когда
.
Радиус сходимости
Радиус круга сходимости называется радиусом сходимости ряда.
Радиус сходимости ряда Тейлора аналитической функции равен расстоянию от центра ряда до множества особых точек функции, и может быть вычислен по формуле Коши — Адамара:
Эта формула выводится на основе признака Коши.
Теорема Островского — Адамара
Для степенного ряда
,
у которого почти все коэффициенты равны нулю, в том смысле, что последовательность ненулевых коэффициентов
удовлетворяет
для некоторого фиксированного
, круг с центром
и радиусом, равным радиусу сходимости, является естественной границей — аналитическое продолжение функции, определяемой таким рядом, невозможно за пределы круга.
См. также
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 13 мая 2011.Категория:- Математический анализ
Wikimedia Foundation. 2010.