- Изолированная точка множества
-
Изоли́рованная то́чка в общей топологии — это такая точка множества, что пересечение некоторой её окрестности с множеством состоит только из этой точки.
Содержание
Определение
Пусть дано топологическое пространство
, и подмножество
. Точка
называется изолированной точкой множества
, если существует окрестность
такая, что
Связанные определения
- Пространство, каждая точка которого является изолированной, является дискретным.
Свойства
- Произвольная функция
, где
- множество с собственной топологией, всегда непрерывна в изолированной точке
.
Примеры
Пусть
— множество вещественных чисел с стандартной топологией.
- Если
, то точка
является изолированной, а все остальные нет.
- Если
то
не является изолированной точкой, а все остальные ими являются.
- Множество натуральных чисел
дискретно.
- Множество рациональных чисел не имеет изолированных точек. В частности, оно не является дискретным, хотя и является счётным.
- Существуют неприводимые многочлены от двух переменных f(x,y), графики которых (т.е. множество точек плоскости, в которых f(x,y)=0) содержат одну или несколько изолированных точек. Например, график функции y^2 = x^2*(x-1) состоит из кривой, лежащей в полуплоскости x>1, и изолированной точки (0;0).
См. также
Категория:- Общая топология
Wikimedia Foundation. 2010.