- Булеан
-
Пусть
— множество. Множество всех подмножеств множества
называется булеаном
(также степенью множества (англ. power set), показательным множеством или множеством частей) и обозначается
. Также оно обозначается
, так как оно соответствует множеству отображений из
в
.
Если два множества равномощны, то равномощны и их булеаны. Обратное утверждение (т.е. инъективность операции
для кардиналов) является независимым от ZFC.
В категории множеств можно снабдить функцию
структурой ковариантного или контравариантного функтора следующим образом.
- Ковариантный функтор отображает функцию
в функцию
такую, что она отображает
в образ
относительно
.
- Контравариантный функтор отображает функцию
в
такую, что она отображает
в полный прообраз
относительно
.
Справедливо следующее утверждение:
Число подмножеств конечного множества, состоящего из
элементов, равно
.
Доказательство проведем методом математической индукции.База. Если
, т. е. множество пусто, то у него только одно подмножество — оно само, и интересующее нас число равно
.
Индукционный шаг. Пусть утверждение справедливо для некоторого n и пусть
— множество с кардинальным числом
. Зафиксировав некоторый элемент
, разделим подмножества множества
на два типа:
, содержащее
,
, не содержащее
, то есть являющиеся подмножествами множества
.
Подмножеств типа (2) по предположению индукции
. Но подмножеств типа (1) ровно столько же, так как подмножество типа (1) получается из некоторого и притом единственного подмножества типа (2) добавлением элемента
и, следовательно, из каждого подмножества типа (2) получается этим способом одно и только одно подмножество типа (1).
Следовательно имеем
и
. По индукционному предположению
и
. Получаем
.
См. также
Для улучшения этой статьи желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
Категория:- Теория множеств
- Ковариантный функтор отображает функцию
Wikimedia Foundation. 2010.