Аксиома булеана

Аксиома булеана

Аксиома существования булеана (аксиома множества подмножеств) формулируется так: «из любого множества можно образовать булеан, то есть такое множество ~ d, которое состоит из всех собственных и несобственных подмножеств ~ b данного множества ~  a». Согласно теории множеств математически эта аксиома записывается так:

~ \forall a \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow \forall c \ (c \in b \to c \in a) \ )

В аксиоме булеана указан тип множеств (подмножества множества ~ a), которые должны быть элементами образуемого множества ~ d. Вместе с тем, аксиома булеана не содержит алгоритм нахождения всех элементов образуемого множества ~ d.

Аксиому булеана можно вывести из следующих высказываний:

  • ~ \exist d \forall b \ (b \subseteq a \to b \in d)
  • ~ \forall d \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in d \land b \subseteq a)

Первое из этих высказываний — одно из следствий аксиомы булеана, а второе — одна из конкретизаций схемы выделения.

Руководствуясь аксиомой объёмности, можно доказать единственность булеана для каждого множества ~ a. Иначе говоря, можно доказать, что аксиома булеана равносильна высказыванию

~ \forall a \exists ! d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a), что есть ~ \forall a \exist d \ (d = \{b: b \subseteq a\} \quad \land \quad  \forall d' \ (d' \ne d \to d' \ne \{b: b \subseteq a\}) \ ).

Альтернативные формулировки аксиомы

~ \forall a \exist d \forall b \ (b \in d \leftrightarrow b \subseteq a), где ~  b \subseteq a \Leftrightarrow \forall c \ (c \in b \to c \in a)

~ \forall a \exist d \ (d = \{b: b \subseteq a\})

~ \forall a \exist d \forall b \ (b \notin d \leftrightarrow \exist c \ (c \in b \land c \notin a))

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Аксиома булеана" в других словарях:

  • Аксиома — В Викисловаре есть статья «аксиома» Аксиома (др. греч …   Википедия

  • Аксиома объединения — Аксиомой объединения называется следующее высказывание теории множеств: Аксиому объединения можно сформулировать по русски, а именно: Из любого семейства множеств можно образовать как минимум одно такое множество , каждый элемент которого… …   Википедия

  • Аксиоматика теории множеств — Сюда перенаправляется запрос «Теория Цермело Френкеля». На эту тему нужна отдельная статья. Современная теория множеств строится на системе аксиом  утверждений, принимаемых без доказательства,  из которых выводятся все теоремы и у …   Википедия

  • ZFC — Современная теория множеств строится на системе аксиом утверждений, принимаемых без доказательства, из которых выводятся все теоремы и утверждения теории множеств. Система аксиом Цермело Френкеля (ZF) является стандартной системой аксиом для… …   Википедия

  • Булеан — Пусть   множество. Множество всех подмножеств множества называется булеаном (также степенью множества (англ. power set), показательным множеством или множеством частей) и обозначается . Также оно обозначается , так как оно соответствует …   Википедия

  • Множество подмножеств — Пусть A  множество. Множество всех подмножеств множества A называется булеаном A (также степенью множества, показательным множеством или множеством частей) и обозначается или 2A. Ясно, что и . Справедливо следующее утверждение …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»