- Sh x
-
Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.
Содержание
Определение
Определение гиперболических функций через гиперболуОдин из способов определения тригонометрических функций через единичную окружностьГиперболические функции задаются следующими формулами:
- гиперболический синус:
(в зарубежной литературе обозначается sinhx)
- гиперболический косинус:
(в зарубежной литературе обозначается coshx)
- гиперболический тангенс:
(в зарубежной литературе обозначается tanhx).
- гиперболический котангенс:
,
Иногда также определяются
- гиперболические секанс и косеканс:
,
.
Геометрическое определение
Ввиду соотношения
гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы x2 − y2 = 1 (
,
). При этом аргумент t = 2S, где S — площадь криволинейного треугольника OQR, взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси OX, и «−» в противоположном случае. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.
Свойства
Связь с тригонометрическими функциями
Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.
.
.
Функция Гудермана связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел.
Важные тождества
- Чётность:
- Формулы сложения:
- Формулы двойного угла:
- Формулы понижения степени
- Производные:
- Интегралы:
- См. также: Список интегралов от гиперболических функций, Список интегралов от обратных гиперболических функций
Разложение в степенные ряды
Здесь B2n — числа Бернулли.
Графики
Аналитические свойства
Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках z = iπ(n + 1 / 2), где n — целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек z = iπn, вычеты его в этих полюсах также равны единице.
Обратные гиперболические функции
Читаются ареа… (-синус и т. д.) — от лат. «area» — «площадь».
— обратный гиперболический синус, гиперболический арксинус, ареасинус:
— обратный гиперболический косинус, гиперболический арккосинус, ареакосинус.
— обратный гиперболический тангенс, гиперболический арктангенс, ареатангенс.
— обратный гиперболический котангенс, гиперболический арккотангенс, ареакотангенс.
— обратный гиперболический секанс, гиперболический арксеканс, ареасеканс.
— обратный гиперболический косеканс, гиперболический арккосеканс, ареакосеканс.
Графики
Связь между некоторыми обратными гиперболическими и обратными тригонометрическими функциями:
где i — мнимая единица.
Эти функции имеют следующее разложение в ряд:
В зарубежной литературе обратные гиперболические функции часто обозначают посредством знака минус первой степени: например,
пишут как
(причём
обозначает другую функцию —
), и т. д.
История
Гиперболические функции были введены Винченцо Риккати (Vincenzo Riccati) в 1757 году («Opusculorum», том I). Он получил их из рассмотрения единичной гиперболы.
Дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Ламбертом.
Риккати применял для гиперболических функций обозначения
и
. В дальнейшем в обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения
,
, в русскоязычной литературе закрепились обозначения
, в англоязычной закрепились sinh,cosh, .
Применение
Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто выполняются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.
Аналогично тому, как матрицы вида
описывают повороты двумерного евклидова пространства, матрицы
описывают повороты в простейшем двумерном пространстве Минковского. В связи с этим гиперболические функции часто встречаются в теории относительности.
Однородная веревка или цепочка, свободно подвешенная за свои концы, приобретает форму графика функции
(в связи с чем график гиперболического косинуса иногда называют цепной линией). Это обстоятельство используется при проектировании арок, поскольку форма арки в виде перевёрнутой цепной линии наиболее удачно распределяет нагрузку.
Жаргонные названия
В связи с особенностями написания операторов гиперболических функций в русском языке появился ряд жаргонных наименований этих функций. Простейшее (и наиболее распространённое) словообразование использует уточняющую приставку «гипер-» к названиям тригонометрических функций. Также существуют такие жаргонные названия:[1]
— «ши́нус», «чи́нус», «сихинус».
— «чо́синус», «коши́нус», «коси́хинус», «чуби́нус», «чихо́нус».
— «ча́нгенс», «та́шинус», «та́хинус», «таха́нгенс».
— «кочангенс», «кота́хинус».
Литература
- Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. — Москва: Наука, 1985. — С. 464.
Примечания
Ссылки
- GonioLab: Интерактивная демонстрация тригонометрических и гиперболических функций на Java Web Start
- История гиперболических функций (англ)
- БСЭ: Знаки математические
- Обратные тригонометрические и гиперболические функции (англ.)
Wikimedia Foundation. 2010.