Биективность

Биективная функция.

Функция $f:X\to Y$ называется биекцией (и обозначается $f:X\leftrightarrow Y$), если она:

1. Переводит разные элементы множества X в разные элементы множества Y (инъективность). Иными словами,
   • $\forall x_1\in X,\;\forall x_2\in X\;(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2)$.
2. Любой элемент из Y имеет свой прообраз (сюръективность). Иными словами,
   • $\forall y\in Y,\;\exists x\in X\;f(x)=y$.

Биекцию также называют взаимно однозначным отображением. Множества, для которых существует биекция, называются равномощными.

Примеры

• $\mathrm{id}:X\to X$ — функция, сохраняющая все элементы множества X, биективна на этом множестве.
• $f(x)=x,\;f(x)=x^3$ — биективные функции из $\R$ в себя. Вообще, любой моном одной переменной нечетной степени является биекцией.
• f(x) = e^x — биективная функция в $\R_+=(0,\;+\infty)$. Но если её рассматривать как функцию в $\R$, то она уже не будет биективной (у нуля и отрицательных чисел не будет прообразов).
• f(x) = sinx не является биективной функцией, если считать её определённой на всём $\R$.

Свойства

Композиция инъекции и сюръекции, дающая биекцию.

• Функция $f:X\to Y$ является биективной тогда и только тогда, когда существует обратная функция $f^{-1}:Y\to X$ такая, что

$\forall x\in X\;f^{-1}(f(x))=x$ и $\forall y\in Y\;f(f^{-1}(y))=y.$

• Если функции f и g биективны, то и композиция функций $g\circ f$ биективна, в этом случае $(g\circ f)^{-1} = f^{-1}\circ g^{-1}$. Коротко: композиция биекций является биекцией. Обратное, вообще говоря, неверно: если $g\circ f$ биективна, то мы можем утверждать лишь, что f инъективна, а g сюръективна.

Использование модели

В информатике

Организация связи «один к одному» между таблицами реляционной БД на основе первичных ключей

См. также

• Функция
• Инъекция
• Сюръекция
• Изоморфизм

Литература

• Н. К. Верещагин, А.Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.

• Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: «Лань», 2004—336 с.