Когомологии де Рама

Когомологии де Рама — теория когомологий, основанная на дифференциальных формах, и применяемая в теориях гладких и алгебраических многообразий.

Названы в честь швейцарского математика де Рама. $k$-мерная группа когомологий де Рама многообразия $M$ обычно обозначается $H^k_{\mathrm{dR}}(M)$.

Гладкие многообразия

Определения

Через коцепной комплекс

Комплексом де Рама называется коцепной комплекс внешних дифференциальных форм на гладком многообразии $M$ с внешней производной $d\,^k$ в качестве дифференциала.

$0 \to\Omega^0(M)\stackrel{d\,^0}{\to}\Omega^1(M)\stackrel{d^1}{\to}\Omega^2(M)\stackrel{d^2}{\to}\Omega^3(M)\to\ldots$

Здесь $\Omega^0(M)$ — пространство гладких функций на $M$, $\Omega^1(M)$ — пространство 1-форм, то есть $\Omega^k(M)$ — пространство $k$-форм. Заметим, что $d\,^{k+1} d\,^k=0$. $k$-мерная группа когомологий $H_k$ этого коцепного комплекса является его мерой точности в $k$-ом члене и определяется как

$H^k(\Omega^\bullet,\;d^\bullet)=\mathrm{Ker}\,d^k\,/\,\mathrm{Im}\,d^{k-1}.$

• Форма $\alpha\in\Omega^k(M)$ называется замкнутой, если $d\,^k\alpha=0$, в этом случае $\alpha\in\mathrm{Ker}\, d^k$.
• Форма $\alpha\in\Omega^k(M)$ называется точной, если $\alpha=d\,^{k-1}\gamma$, для некоторой $\gamma\in\Omega^{k-1}$, то есть $\alpha\in\mathrm{Im}\,d^{k-1}$.

Заметим, что всякая точная форма является замкнутой.

Как класс эквивалентности форм

Более геометрически, идея когомологий де Рама состоит в том, чтобы классифицировать замкнутые формы на многообразии: две замкнутые формы $\alpha$ и $\beta$ в $\Omega^k(M)$ называются когомологичными, если они отличаются на точную форму, то есть их разность $\alpha-\beta=d\gamma$ является точной формой. Это определение порождает отношение эквивалентности на множестве замкнутых форм в $\Omega^k(M)$.

Когомологическим классом $[\alpha]$ формы $\alpha$ называется множество всех замкнутых форм, отличающихся от $\alpha$ на точную форму — то есть множество форм вида $\alpha+d\gamma$.

$k$-мерная группа когомологий де Рама $H^k_\mathrm{dR}(M)$ — это факторгруппа всех замкнутых форм в $\Omega^k(M)$ по подгруппе точных форм.

Заметим, что для многообразия $M$, имеющего $N$ связных компонент,

$H^0_\mathrm{dR}(M)\cong\mathbf{R}^N.$

Действительно, формы степени 0 — это скалярные функции. Замкнутость означает, что функции имеют нулевую производную, то есть постоянны на каждой компоненте связности многообразия.

Теорема де Рама

Теорема Стокса является выражением двойственности между когомологиями де Рама и гомологиями цепных комплексов. А именно, ключевое следствие из теоремы состоит в том, что «интегралы от замкнутой формы по гомологичным цепям равны»: если $\omega$ — замкнутая $k$-форма, а $M$ и $N$ — гомологичные $k$-цепи (то есть $M-N$ является границей $(k+1)$-мерной цепи $W$), то

$\int\limits_M\omega=\int\limits_N\omega,$

поскольку их разность есть интеграл

$\int\limits_{\partial W}\omega=\int\limits_W\,d\omega=\int\limits_W 0=0.$

Таким образом, спаривание дифференциальных форм и цепей посредством интегрирования определяет гомоморфизм из когомологий де Рама $H^k_\mathrm{dR}(M)$ в группу сингулярных когомологий $H^k(M;\;\mathbf R)$. Теорема де Рама, доказанная Жоржем де Рамом в 1931 году, утверждает, что на гладких многообразиях это отображение является изоморфизмом:

$H^k_\mathrm{dR}(M)\cong H^k(M;\;\mathbf R).$

Внешнее произведение наделяет прямую сумму групп $H^k_\mathrm{dR}(M)$ структурой кольца. Аналогичную структуру в сингулярных когомологиях $H^k(M;\;\mathbf R)$ задаёт $\smile$-умножение. Теорема де Рама утверждает также, что эти два кольца когомологий изоморфны как градуированные кольца.

Алгебраические многообразия

Определение

Совершенно аналогично гладкому случаю, с каждым алгебраическим многообразием $X$ над полем $k$ связывается комплекс регулярных дифференциальных форм.

Группами когомологий де Рама многообразия $X$ называются группы когомологий $H^p_\mathrm{dR}(X/k)$.

Частные случаи когомологий де Рама

• Если $X$ является гладким и полным многообразием, а характеристика поля $\mathrm{char}\,k=0$, то когомологии де Рама являются когомологиями Вейля.
• Если многообразие $X$ есть гладкое аффинное многообразие, а поле $k=\C$, то справедлив следующий аналог теоремы де Рама:

  $H^p_{\mathrm{dR}}(X/k)\cong H^p(X_{an},\;\mathbb{C}),$

где $X_{an}$ — комплексное аналитическое многообразие, соответствующее алгебраическому многообразию $X$.

• Например, если $X$ — дополнение к алгебраической гиперповерхности в $P^n(\C)$, то когомологии $H^p(X,\;\C)$ могут быть вычислены при помощи рациональных дифференциальных форм на $P^n(\C)$ с полюсами на этой гиперповерхности.

Относительные когомологии де Рама

Для любого морфизма $f\colon X\to S$ можно определить так называемый относительный комплекс де Рама

$\sum_{p\leqslant 0}\Gamma(\Omega^p_{X/S}),$

приводящий к относительным когомологиям де Рама $H^p_\mathrm{dR}(X/S)$.

В случае, если многообразие $X$ является спектром кольца $\mathrm{Spec}\,A$, а $S=\mathrm{Spec}\,B$ и оба обладают аффинностью, то относительный комплекс де Рама совпадает с $\Lambda\Omega^1_{A/B}$.

Когомологии $\mathcal{H}^p_\mathrm{dR}(X/S)$ комплекса пучков $\sum_{p\leqslant 0}f_*\Omega^p_{X/S}$ на $S$ называется пучками относительных когомологий де Рама. Eсли $f$ — собственный морфизм, то эти пучки когерентны на $S$.

Литература

• Ботт, Р., Ту, Л. В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. — М.: Платон, 1997. — 336 с. — ISBN 5-80100-280-4.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984. — 343 с.
• де Рам, Ж. Дифференцируемые многообразия = Varietes differentiables. — M.: КомКнига, 2006. — 250 с. — ISBN 5-484-00341-5.

См. также

• Модуль дифференциалов